Determine as coordenadas do ponto P sobre a curva y=atan(x) mais próximo do ponto Q(1,1) usando o Método de Newton. Antes de aplicar o método, determine um intervalo [a, b] de comprimento 1 que contém a solução do problema. Tome o ponto médio desse intervalo como aproximação inicial. Trabalhe com 4 casas decimais e utilize varepsilon=10^-4 como critério de parada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as coordenadas do ponto na curva que está mais perto do ponto . Para isso, vamos usar o Método de Newton, que é uma técnica para encontrar raízes de funções. Primeiro, vamos entender um pouco de geometria: a menor distância entre dois pontos ocorre ao minimizar a distância entre eles. Então, nossa missão é minimizar essa distância usando cálculo e o Método de Newton.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a distância entre d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 e D(x) = (x - 1)^2 + (arctan(x) - 1)^2 . A fórmula da distância entre dois pontos e é:
Mas, para facilitar a minimização, vamos trabalhar com a distância ao quadrado:
Minimizar vai nos dar o ponto mais próximo.

Passo 3

Agora, para encontrar o mínimo de D'(x) = 2(x - 1) + 2(arctan(x) - 1) cdot 11 + x^2 , precisamos calcular sua derivada e igualar a zero. Vamos derivar 2(x - 1) + 2(arctan(x) - 1)1 + x^2 = 0 em relação a (x - 1) + arctan(x) - 11 + x^2 = 0 :
Queremos resolver :
Podemos simplificar dividindo por 2:

Passo 4

Esse é o ponto onde aplicamos o Método de Newton. Primeiro, vamos reescrever a equação xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) . O Método de Newton usa a fórmula:
Então, precisamos calcular a derivada de , ou seja, .

Passo 5

Calculando f'(x) = 1 + 11 + x^2(1 + x^2) - (arctan(x) - 1)(2x)(1 + x^2)^2 :
f'(x) = 1 + 1 - 2x(arctan(x) - 1)(1 + x^2)^2
Simplificando:

Passo 6

Antes de aplicar o Método de Newton, precisamos escolher um intervalo de comprimento 1 que contenha a solução. Sabemos que , próximo de 1. Vamos tentar o intervalo , que tem comprimento 1.

Passo 7

Agora, vamos tomar o ponto médio desse intervalo como nossa aproximação inicial:
x0 = 0 + 12 = 0,5
Vamos aplicar o Método de Newton com f(0.5) = (0.5 - 1) + arctan(0.5) - 11 + 0.25 approx -0.5 + 0.4636 - 11.25 approx -0.5 - 0.3731 = -0.8731 e trabalhar com 4 casas decimais.
Iteração 1:
f'(0.5) approx 1 + 1 - 2 cdot 0.5 cdot (0.4636 - 1)(1 + 0.25)^2 approx 1 + 1 - 2 cdot 0.5 cdot (-0.5364)1.5625 approx 1 + 1 + 0.53641.5625 approx 1 + 0.9230 = 1.9230
x1 = 0.5 - -0.87311.9230 approx 0.5 + 0.4532 = 0.9532
f(0.9532) approx (0.9532 - 1) + arctan(0.9532) - 11 + (0.9532)^2 approx -0.0468 + 0.7598 - 11.9082 approx -0.0468 - 0.1225 = -0.1693
Iteração 2:
f'(0.9532) approx 1 + 1 - 2 cdot 0.9532 cdot (0.7598 - 1)(1 + 0.9082)^2 approx 1 + 1 - 2 cdot 0.9532 cdot (-0.2402)3.6363 approx 1 + 1 + 0.45773.6363 approx 1 + 0.4246 = 1.4246
x2 = 0.9532 - -0.16931.4246 approx 0.9532 + 0.1187 = 1.0719
f(1.0719) approx (1.0719 - 1) + arctan(1.0719) - 11 + (1.0719)^2 approx 0.0719 + 0.8073 - 12.1481 approx 0.0719 - 0.0914 = -0.0195
Iteração 3:
f'(1.0719) approx 1 + 1 - 2 cdot 1.0719 cdot (0.8073 - 1)(1 + 1.1481)^2 approx 1 + 1 - 2 cdot 1.0719 cdot (-0.1927)4.6190 approx 1 + 1 + 0.41324.6190 approx 1 + 0.1193 = 1.1193
x3 = 1.0719 - -0.01951.1193 approx 1.0719 + 0.0174 = 1.0893
f(1.0893) approx (1.0893 - 1) + arctan(1.0893) - 11 + (1.0893)^2 approx 0.0893 + 0.8267 - 12.1855 approx 0.0893 - 0.0751 = 0.0142
Iteração 4:
f'(1.0893) approx 1 + 1 - 2 cdot 1.0893 cdot (0.8267 - 1)(1 + 1.1855)^2 approx 1 + 1 - 2 cdot 1.0893 cdot (-0.1733)4.4742 approx 1 + 1 + 0.37704.4742 approx 1 + 0.0842 = 1.0842
x4 = 1.0893 - 0.01421.0842 approx 1.0893 - 0.0131 = 1.0762
f(1.0762) approx (1.0762 - 1) + arctan(1.0762) - 11 + (1.0762)^2 approx 0.0762 + 0.8260 - 12.1581 approx 0.0762 - 0.0804 = -0.0042
Iteração 5:
f'(1.0762) approx 1 + 1 - 2 cdot 1.0762 cdot (0.8260 - 1)(1 + 1.1581)^2 approx 1 + 1 - 2 cdot 1.0762 cdot (-0.1740)4.6583 approx 1 + 1 + 0.37434.6583 approx 1 + 0.2523 = 1.2523
x5 = 1.0762 - -0.00421.2523 approx 1.0762 + 0.0034 = 1.0796
f(1.0796) approx (1.0796 - 1) + arctan(1.0796) - 11 + (1.0796)^2 approx 0.0796 + 0.8307 - 12.1669 approx 0.0796 - 0.0772 = 0.0024
Iteração 6:
f'(1.0796) approx 1 + 1 - 2 cdot 1.0796 cdot (0.8307 - 1)(1 + 2.1669)^2 approx 1 + 1 - 2 cdot 1.0796 cdot (-0.1693)4.7114 approx 1 + 1 + 0.36584.7114 approx 1 + 0.2421 = 1.2421
x6 = 1.0796 - 0.00241.2421 approx 1.0796 - 0.0019 = 1.0777
Como a diferença entre as iterações é menor que , paramos por aqui.

Resposta

As coordenadas do ponto na curva mais próximo de são aproximadamente , ou seja, .

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