Determine as coordenadas do ponto sobre a curva mais próximo do ponto usando o Método de Newton. Antes de aplicar o método, determine um intervalo de comprimento 1 que contém a solução do problema. Tome o ponto médio desse intervalo como aproximação inicial. Trabalhe com 4 casas decimais e utilize como critério de parada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as coordenadas do ponto na curva que está mais perto do ponto . Para isso, vamos usar o Método de Newton, que é uma técnica para encontrar raízes de funções. Primeiro, vamos entender um pouco de geometria: a menor distância entre dois pontos ocorre ao minimizar a distância entre eles. Então, nossa missão é minimizar essa distância usando cálculo e o Método de Newton.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a distância entre e . A fórmula da distância entre dois pontos e é:
Mas, para facilitar a minimização, vamos trabalhar com a distância ao quadrado:
Minimizar vai nos dar o ponto mais próximo.

Passo 3

Agora, para encontrar o mínimo de , precisamos calcular sua derivada e igualar a zero. Vamos derivar em relação a :
Queremos resolver :
Podemos simplificar dividindo por 2:

Passo 4

Esse é o ponto onde aplicamos o Método de Newton. Primeiro, vamos reescrever a equação . O Método de Newton usa a fórmula:
Então, precisamos calcular a derivada de , ou seja, .

Passo 5

Calculando :
Simplificando:

Passo 6

Antes de aplicar o Método de Newton, precisamos escolher um intervalo de comprimento 1 que contenha a solução. Sabemos que , próximo de 1. Vamos tentar o intervalo , que tem comprimento 1.

Passo 7

Agora, vamos tomar o ponto médio desse intervalo como nossa aproximação inicial:
Vamos aplicar o Método de Newton com e trabalhar com 4 casas decimais.
Iteração 1:
Iteração 2:
Iteração 3:
Iteração 4:
Iteração 5:
Iteração 6:
Como a diferença entre as iterações é menor que , paramos por aqui.

Resposta

As coordenadas do ponto na curva mais próximo de são aproximadamente , ou seja, .

Exercícios relacionados

Use o Método de Newton para encontrar uma aproximação para cada equação a seguir. A solução se encontra dentro do intervalo a frente de cada equação. Trabalhe com 4 casas decimais e como critério de parada considere . Tome a aproximação inicial como sendo o ponto médio dos intervalos apresentados.
(e) para ;
Utilize o Método da Bisseção para encontrar uma solução com precisão de para os problemas: para
Utilize o Método de Newton para encontrar com precisão de , os zeros e os pontos críticos para as seguintes funções:
A fórmula
fornece a velocidade de subida de um foguete, onde é a velocidade de combustível expelido pelo foguete, a massa inicial do foguete em a aceleraçação da gravidade e o tempo. Utilize o Método de Newton para obter o instante quando o foguete atinge , sendo e . Considere o intervalo [10, 25] e tome como sendo o ponto médio desse intervalo. Trabalhe com 5 casas decimais e como critério de parada.