Determine as coordenadas do ponto
sobre a curva
mais próximo do ponto
usando o Método de Newton. Antes de aplicar o método, determine um intervalo
de comprimento 1 que contém a solução do problema. Tome o ponto médio desse intervalo como aproximação inicial. Trabalhe com 4 casas decimais e utilize
como critério de parada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as coordenadas do ponto
na curva
que está mais perto do ponto
. Para isso, vamos usar o Método de Newton, que é uma técnica para encontrar raízes de funções. Primeiro, vamos entender um pouco de geometria: a menor distância entre dois pontos ocorre ao minimizar a distância entre eles. Então, nossa missão é minimizar essa distância usando cálculo e o Método de Newton.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a distância entre
e
. A fórmula da distância entre dois pontos
e
é:
Mas, para facilitar a minimização, vamos trabalhar com a distância ao quadrado:
Minimizar
vai nos dar o ponto mais próximo.
Passo 3
Agora, para encontrar o mínimo de
, precisamos calcular sua derivada e igualar a zero. Vamos derivar
em relação a
:
Queremos resolver
:
Podemos simplificar dividindo por 2:
Passo 4
Esse é o ponto onde aplicamos o Método de Newton. Primeiro, vamos reescrever a equação
. O Método de Newton usa a fórmula:
Então, precisamos calcular a derivada de
, ou seja,
.
Passo 5
Calculando
:
Simplificando:
Passo 6
Antes de aplicar o Método de Newton, precisamos escolher um intervalo
de comprimento 1 que contenha a solução. Sabemos que
, próximo de 1. Vamos tentar o intervalo
, que tem comprimento 1.
Passo 7
Agora, vamos tomar o ponto médio desse intervalo como nossa aproximação inicial:
Vamos aplicar o Método de Newton com
e trabalhar com 4 casas decimais.
Iteração 1:
Iteração 2:
Iteração 3:
Iteração 4:
Iteração 5:
Iteração 6:
Como a diferença entre as iterações é menor que
, paramos por aqui.
Resposta
As coordenadas do ponto
na curva
mais próximo de
são aproximadamente
, ou seja,
.
Exercícios relacionados
Use o Método de Newton para encontrar uma aproximação
para cada equação a seguir. A solução se encontra dentro do intervalo a frente de cada equação. Trabalhe com 4 casas decimais e como critério de parada considere
. Tome a aproximação inicial como sendo o ponto médio dos intervalos apresentados.
(e) para
;
(e)
Utilize o Método da Bisseção para encontrar uma solução com precisão de
para os problemas:
para
Utilize o Método de Newton para encontrar com precisão de
, os zeros e os pontos críticos para as seguintes funções:
A fórmula
fornece a velocidade
de subida de um foguete, onde
é a velocidade de combustível expelido pelo foguete,
a massa inicial do foguete em
a aceleraçação da gravidade e
o tempo. Utilize o Método de Newton para obter o instante
quando o foguete atinge
, sendo
e
. Considere o intervalo [10, 25] e tome
como sendo o ponto médio desse intervalo. Trabalhe com 5 casas decimais e
como critério de parada.