A fórmula
v=u ln (mm-q t)-g t
fornece a velocidade v de subida de um foguete, onde u é a velocidade de combustível expelido pelo foguete, m a massa inicial do foguete em t=0, g a aceleraçação da gravidade e t o tempo. Utilize o Método de Newton para obter o instante t quando o foguete atinge 500 m / s, sendo u=950 m / s, m=2 times 10^5 kg, q=3000 kg / s e g=9.8 m / s^2. Considere o intervalo [10, 25] e tome x0 como sendo o ponto médio desse intervalo. Trabalhe com 5 casas decimais e varepsilon-10^-6 como critério de parada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um foguete cujo a velocidade de subida é dada pela fórmula:
v = u ln (mm - q t) - g t
Queremos descobrir o tempo em que a velocidade do foguete atinge . Para isso, vamos usar o Método de Newton, que é uma técnica para encontrar raízes de funções (ou seja, valores de que tornam a função igual a zero). A gente vai precisar dos valores:
E vamos trabalhar no intervalo de entre 10 e 25 segundos, começando pelo ponto médio desse intervalo. Vamos também trabalhar com 5 casas decimais e usar como critério de parada.

Passo 2

Primeiro, precisamos reformular a equação para usar o Método de Newton. Queremos encontrar o f(t) = u ln (mm - q t) - g t - 500 que torna . Então, vamos definir uma função que representa a diferença entre a velocidade do foguete e 500:
Queremos encontrar o valor de onde .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de f'(t) = u qm - q t - g , que é necessária para o Método de Newton. A derivada é:
Essa derivada nos ajuda a aproximar a raiz de de forma mais precisa a cada iteração.

Passo 4

Vamos começar com a escolha do ponto inicial x0 = 10 + 252 = 17.5 . O intervalo é [10, 25], então o ponto médio é:
Esse será nosso primeiro palpite para o tempo .

Passo 5

Aplicando a fórmula do Método de Newton:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Vamos calcular f(17.5) = 950 ln (2 times 10^52 times 10^5 - 3000 times 17.5) - 9.8 times 17.5 - 500 e 2 times 10^5 - 3000 times 17.5 = 2 times 10^5 - 52500 = 147500 :
f(17.5) = 950 ln (200000147500) - 171.5 - 500
Primeiro, calculamos o denominador dentro do logaritmo:
ln (200000147500) approx ln(1.35676) approx 0.3052
Então:
f(17.5) = 950 times 0.3052 - 171.5 - 500 approx 290.0 - 171.5 - 500 = -381.5
Calculando o logaritmo:
f'(17.5) = 950 times 3000147500 - 9.8 approx 2,850,000147,500 - 9.8 approx 19.325 - 9.8 = 9.525
Então:
Agora, a derivada:

Passo 6

Vamos atualizar nosso palpite x1 = 17.5 - -381.59.525 approx 17.5 + 40.07 = 57.57 :
Mas olha só, nosso intervalo é [10, 25], e 57.57 está fora. Isso indica que talvez precisemos ajustar nosso método ou escolher um ponto inicial melhor. Vamos revisar os cálculos para garantir que não houve erro.

Passo 7

Recalculando ln (200000147500) = ln(200147.5) approx ln(1.35593) approx 0.3048 com mais precisão:
f(17.5) = 950 times 0.3048 - 171.5 - 500 approx 289.56 - 171.5 - 500 = -381.94
Então:
f'(17.5) = 950 times 3000147500 - 9.8 approx 19.322 - 9.8 = 9.522
E a derivada:
x1 = 17.5 - -381.949.522 approx 17.5 + 40.12 = 57.62
Atualizando :
Ainda está fora do intervalo. Isso sugere que o ponto inicial pode não ser adequado ou que a função não cruza zero dentro do intervalo [10, 25]. Vamos verificar e para entender melhor.

Passo 8

Calculando f(10) = 950 ln (200000200000 - 3000 times 10) - 9.8 times 10 - 500 = 950 ln (200000170000) - 98 - 500 :
ln(200000170000) approx ln(1.17647) approx 0.1625
f(10) = 950 times 0.1625 - 98 - 500 approx 154.375 - 98 - 500 = -443.625
Então:
f(25) = 950 ln (200000200000 - 3000 times 25) - 9.8 times 25 - 500 = 950 ln (200000125000) - 245 - 500
Calculando ln(200000125000) = ln(1.6) approx 0.4700 :
f(25) = 950 times 0.4700 - 245 - 500 approx 446.5 - 245 - 500 = -298.5
Então:
Ambos e são negativos, o que indica que a função não cruza zero nesse intervalo. Portanto, não há solução para no intervalo [10, 25] que satisfaça .

Resposta

Não existe um instante no intervalo [10, 25] segundos onde a velocidade do foguete atinge com os parâmetros fornecidos.

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