A fórmula
fornece a velocidade
de subida de um foguete, onde
é a velocidade de combustível expelido pelo foguete,
a massa inicial do foguete em
a aceleraçação da gravidade e
o tempo. Utilize o Método de Newton para obter o instante
quando o foguete atinge
, sendo
e
. Considere o intervalo [10, 25] e tome
como sendo o ponto médio desse intervalo. Trabalhe com 5 casas decimais e
como critério de parada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um foguete cujo a velocidade de subida é dada pela fórmula:
Queremos descobrir o tempo
em que a velocidade
do foguete atinge
. Para isso, vamos usar o Método de Newton, que é uma técnica para encontrar raízes de funções (ou seja, valores de
que tornam a função igual a zero). A gente vai precisar dos valores:
E vamos trabalhar no intervalo de
entre 10 e 25 segundos, começando pelo ponto médio desse intervalo. Vamos também trabalhar com 5 casas decimais e usar
como critério de parada.
Passo 2
Primeiro, precisamos reformular a equação para usar o Método de Newton. Queremos encontrar o
que torna
. Então, vamos definir uma função
que representa a diferença entre a velocidade do foguete e 500:
Queremos encontrar o valor de
onde
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
, que é necessária para o Método de Newton. A derivada
é:
Essa derivada nos ajuda a aproximar a raiz de
de forma mais precisa a cada iteração.
Passo 4
Vamos começar com a escolha do ponto inicial
. O intervalo é [10, 25], então o ponto médio é:
Esse será nosso primeiro palpite para o tempo
.
Passo 5
Aplicando a fórmula do Método de Newton:
Vamos calcular
e
:
Primeiro, calculamos o denominador dentro do logaritmo:
Então:
Calculando o logaritmo:
Então:
Agora, a derivada:
Passo 6
Vamos atualizar nosso palpite
:
Mas olha só, nosso intervalo é [10, 25], e 57.57 está fora. Isso indica que talvez precisemos ajustar nosso método ou escolher um ponto inicial melhor. Vamos revisar os cálculos para garantir que não houve erro.
Passo 7
Recalculando
com mais precisão:
Então:
E a derivada:
Atualizando
:
Ainda está fora do intervalo. Isso sugere que o ponto inicial pode não ser adequado ou que a função não cruza zero dentro do intervalo [10, 25]. Vamos verificar
e
para entender melhor.
Passo 8
Calculando
:
Então:
Calculando
:
Então:
Ambos
e
são negativos, o que indica que a função não cruza zero nesse intervalo. Portanto, não há solução para
no intervalo [10, 25] que satisfaça
.
Resposta
Não existe um instante
no intervalo [10, 25] segundos onde a velocidade do foguete atinge
com os parâmetros fornecidos.
Exercícios relacionados
Utilize o Método de Newton para encontrar com precisão de
, os zeros e os pontos críticos para as seguintes funções:
Determine as coordenadas do ponto
sobre a curva
mais próximo do ponto
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para