A fórmula
fornece a velocidade de subida de um foguete, onde é a velocidade de combustível expelido pelo foguete, a massa inicial do foguete em a aceleraçação da gravidade e o tempo. Utilize o Método de Newton para obter o instante quando o foguete atinge , sendo e . Considere o intervalo [10, 25] e tome como sendo o ponto médio desse intervalo. Trabalhe com 5 casas decimais e como critério de parada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um foguete cujo a velocidade de subida é dada pela fórmula:
Queremos descobrir o tempo em que a velocidade do foguete atinge . Para isso, vamos usar o Método de Newton, que é uma técnica para encontrar raízes de funções (ou seja, valores de que tornam a função igual a zero). A gente vai precisar dos valores:
E vamos trabalhar no intervalo de entre 10 e 25 segundos, começando pelo ponto médio desse intervalo. Vamos também trabalhar com 5 casas decimais e usar como critério de parada.

Passo 2

Primeiro, precisamos reformular a equação para usar o Método de Newton. Queremos encontrar o que torna . Então, vamos definir uma função que representa a diferença entre a velocidade do foguete e 500:
Queremos encontrar o valor de onde .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de , que é necessária para o Método de Newton. A derivada é:
Essa derivada nos ajuda a aproximar a raiz de de forma mais precisa a cada iteração.

Passo 4

Vamos começar com a escolha do ponto inicial . O intervalo é [10, 25], então o ponto médio é:
Esse será nosso primeiro palpite para o tempo .

Passo 5

Aplicando a fórmula do Método de Newton:
Vamos calcular e :
Primeiro, calculamos o denominador dentro do logaritmo:
Então:
Calculando o logaritmo:
Então:
Agora, a derivada:

Passo 6

Vamos atualizar nosso palpite :
Mas olha só, nosso intervalo é [10, 25], e 57.57 está fora. Isso indica que talvez precisemos ajustar nosso método ou escolher um ponto inicial melhor. Vamos revisar os cálculos para garantir que não houve erro.

Passo 7

Recalculando com mais precisão:
Então:
E a derivada:
Atualizando :
Ainda está fora do intervalo. Isso sugere que o ponto inicial pode não ser adequado ou que a função não cruza zero dentro do intervalo [10, 25]. Vamos verificar e para entender melhor.

Passo 8

Calculando :
Então:
Calculando :
Então:
Ambos e são negativos, o que indica que a função não cruza zero nesse intervalo. Portanto, não há solução para no intervalo [10, 25] que satisfaça .

Resposta

Não existe um instante no intervalo [10, 25] segundos onde a velocidade do foguete atinge com os parâmetros fornecidos.

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