Utilize o Método de Newton para encontrar com precisão de , os zeros e os pontos críticos para as seguintes funções:

Passo 1

Então, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar seus zeros e pontos críticos usando o Método de Newton com uma precisão de . Para isso, vamos precisar entender o que são zeros e pontos críticos, além de como o Método de Newton funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre os zeros da função. Os zeros são os valores de onde . Ou seja, são os pontos onde o gráfico da função cruza o eixo .

Passo 3

Agora, vamos aos pontos críticos. Pontos críticos são os valores de onde a derivada da função, , é igual a zero ou não existe. Eles nos ajudam a encontrar máximos e mínimos locais da função.

Passo 4

Para usar o Método de Newton, precisamos de duas coisas: uma função e sua derivada . O método é uma técnica iterativa que nos aproxima das raízes ou dos pontos críticos de uma função a partir de uma estimativa inicial.

Passo 5

Vamos calcular a derivada da nossa função :
Essa derivada será usada tanto para encontrar os zeros como os pontos críticos.

Passo 6

Agora, vamos aplicar o Método de Newton para encontrar os zeros da função. A fórmula do método é:
Começamos com uma estimativa inicial e iteramos até que a diferença entre e seja menor que .

Passo 7

Vamos escolher uma estimativa inicial para encontrar um zero. Vamos tentar :
Aqui vemos que , o que significa que precisamos escolher outro ponto inicial para evitar divisão por zero.

Passo 8

Vamos tentar :
Novamente, . Vamos escolher outro ponto inicial, digamos :
Agora, , então podemos continuar.

Passo 9

Aplicamos a fórmula de Newton:
Verificamos novamente:
Continuamos iterando até que a diferença seja menor que .

Passo 10

Depois de várias iterações, chegamos a:
Com , achamos um zero da função.

Passo 11

Agora, vamos encontrar os pontos críticos usando o Método de Newton. Aqui, queremos resolver :
Aplicamos o Método de Newton novamente com a derivada de , que é:

Passo 12

Escolhemos uma estimativa inicial para os pontos críticos. Vamos tentar :
Aqui encontramos como um ponto crítico.

Passo 13

Vamos verificar outros possíveis pontos críticos. Tentamos :
Outro ponto crítico é .

Passo 14

Finalmente, testamos :
Continuamos até alcançar a precisão desejada.

Resposta

Usando o Método de Newton com precisão de , encontramos que a função possui um zero em aproximadamente e pontos críticos nos valores e .

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