Utilize o Método de Newton para encontrar com precisão de
, os zeros e os pontos críticos para as seguintes funções:
Passo 1
Então, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar seus zeros e pontos críticos usando o Método de Newton com uma precisão de
. Para isso, vamos precisar entender o que são zeros e pontos críticos, além de como o Método de Newton funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre os zeros da função. Os zeros são os valores de
onde
. Ou seja, são os pontos onde o gráfico da função cruza o eixo
.
Passo 3
Agora, vamos aos pontos críticos. Pontos críticos são os valores de
onde a derivada da função,
, é igual a zero ou não existe. Eles nos ajudam a encontrar máximos e mínimos locais da função.
Passo 4
Para usar o Método de Newton, precisamos de duas coisas: uma função
e sua derivada
. O método é uma técnica iterativa que nos aproxima das raízes ou dos pontos críticos de uma função a partir de uma estimativa inicial.
Passo 5
Vamos calcular a derivada da nossa função
:
Essa derivada será usada tanto para encontrar os zeros como os pontos críticos.
Passo 6
Agora, vamos aplicar o Método de Newton para encontrar os zeros da função. A fórmula do método é:
Começamos com uma estimativa inicial
e iteramos até que a diferença entre
e
seja menor que
.
Passo 7
Vamos escolher uma estimativa inicial para encontrar um zero. Vamos tentar
:
Aqui vemos que
, o que significa que precisamos escolher outro ponto inicial para evitar divisão por zero.
Passo 8
Vamos tentar
:
Novamente,
. Vamos escolher outro ponto inicial, digamos
:
Agora,
, então podemos continuar.
Passo 9
Aplicamos a fórmula de Newton:
Verificamos novamente:
Continuamos iterando até que a diferença seja menor que
.
Passo 10
Depois de várias iterações, chegamos a:
Com
, achamos um zero da função.
Passo 11
Agora, vamos encontrar os pontos críticos usando o Método de Newton. Aqui, queremos resolver
:
Aplicamos o Método de Newton novamente com a derivada de
, que é:
Passo 12
Escolhemos uma estimativa inicial para os pontos críticos. Vamos tentar
:
Aqui encontramos
como um ponto crítico.
Passo 13
Vamos verificar outros possíveis pontos críticos. Tentamos
:
Outro ponto crítico é
.
Passo 14
Finalmente, testamos
:
Continuamos até alcançar a precisão desejada.
Resposta
Usando o Método de Newton com precisão de
, encontramos que a função
possui um zero em aproximadamente
e pontos críticos nos valores
e
.