Utilize o Método de Newton para encontrar com precisão de 10^-4, os zeros e os pontos críticos para as seguintes funções: f(x)=x^4-2 x^3-5 x^2+12 x-5

Passo 1

Então, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar seus zeros e pontos críticos usando o Método de Newton com uma precisão de . Para isso, vamos precisar entender o que são zeros e pontos críticos, além de como o Método de Newton funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre os zeros da função. Os zeros são os valores de onde . Ou seja, são os pontos onde o gráfico da função cruza o eixo .

Passo 3

Agora, vamos aos pontos críticos. Pontos críticos são os valores de onde a derivada da função, , é igual a zero ou não existe. Eles nos ajudam a encontrar máximos e mínimos locais da função.

Passo 4

Para usar o Método de Newton, precisamos de duas coisas: uma função e sua derivada . O método é uma técnica iterativa que nos aproxima das raízes ou dos pontos críticos de uma função a partir de uma estimativa inicial.

Passo 5

Vamos calcular a derivada da nossa função f'(x) = 4x^3 - 6x^2 - 10x + 12 :
Essa derivada será usada tanto para encontrar os zeros como os pontos críticos.

Passo 6

Agora, vamos aplicar o Método de Newton para encontrar os zeros da função. A fórmula do método é:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Começamos com uma estimativa inicial e iteramos até que a diferença entre e seja menor que .

Passo 7

Vamos escolher uma estimativa inicial para encontrar um zero. Vamos tentar f(1) = 1 - 2 - 5 + 12 - 5 = 1 :
f'(1) = 4 - 6 - 10 + 12 = 0
Aqui vemos que , o que significa que precisamos escolher outro ponto inicial para evitar divisão por zero.

Passo 8

Vamos tentar f(2) = 16 - 16 - 20 + 24 - 5 = -1 :
f'(2) = 32 - 24 - 20 + 12 = 0
f(3) = 81 - 54 - 45 + 36 - 5 = 13
Novamente, f'(3) = 108 - 54 - 30 + 12 = 36 . Vamos escolher outro ponto inicial, digamos :
Agora, , então podemos continuar.

Passo 9

Aplicamos a fórmula de Newton:
x1 = 3 - 1336 approx 2.6389
Verificamos novamente:
f(2.6389) approx 0.0600
f'(2.6389) approx 35.1341
x2 = 2.6389 - 0.060035.1341 approx 2.6384
Continuamos iterando até que a diferença seja menor que .

Passo 10

Depois de várias iterações, chegamos a:
x approx 2.6384
Com , achamos um zero da função.

Passo 11

Agora, vamos encontrar os pontos críticos usando o Método de Newton. Aqui, queremos resolver f'(x) = 4x^3 - 6x^2 - 10x + 12 = 0 :
f''(x) = 12x^2 - 12x - 10
Aplicamos o Método de Newton novamente com a derivada de , que é:

Passo 12

Escolhemos uma estimativa inicial para os pontos críticos. Vamos tentar f'(1) = 4 - 6 - 10 + 12 = 0 :
Aqui encontramos como um ponto crítico.

Passo 13

Vamos verificar outros possíveis pontos críticos. Tentamos f'(2) = 32 - 24 - 20 + 12 = 0 :
Outro ponto crítico é .

Passo 14

Finalmente, testamos f'(3) = 108 - 54 - 30 + 12 = 36 :
f''(3) = 12(9) - 12(3) - 10 = 108 - 36 - 10 = 62
x1 = 3 - 3662 approx 3 - 0.5806 = 2.4194
Continuamos até alcançar a precisão desejada.

Resposta

Usando o Método de Newton com precisão de , encontramos que a função possui um zero em aproximadamente e pontos críticos nos valores e .

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