Use o Método de Newton para encontrar uma aproximação barx para cada equação a seguir. A solução se encontra dentro do intervalo a frente de cada equação. Trabalhe com 4 casas decimais e como critério de parada considere varepsilon=10^-4. Tome a aproximação inicial como sendo o ponto médio dos intervalos apresentados.
(e) e^x-3 x^2=0 para barx in[3,5];

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação usando o Método de Newton. Isso faz parte da matéria de Métodos Numéricos, que nos ajuda a encontrar soluções aproximadas para equações quando resolver diretamente é complicado. Para isso, precisamos calcular derivadas e iterar usando uma fórmula específica. A ideia é começar com um chute inicial, que aqui será o ponto médio do intervalo [3,5], e refinar esse chute até chegar perto da solução com uma precisão de 4 casas decimais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto médio do intervalo [3,5], que será a nossa aproximação inicial x0 = 3 + 52 = 4 .
Então, começamos com .

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula do Método de Newton. Para uma função xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) , a próxima aproximação é dada por:
Aqui, . Vamos precisar também da derivada dessa função, .

Passo 4

Calculando a derivada de f'(x) = ddx(e^x - 3x^2) = e^x - 6x :
Com isso, temos tudo que precisamos para aplicar a fórmula do Método de Newton.

Passo 5

Agora, vamos iterar usando a fórmula. Começamos com f(x0) = e^4 - 3(4)^2 approx 54.5982 - 48 = 6.5982 .
Primeira iteração ( f'(x0) = e^4 - 6(4) approx 54.5982 - 24 = 30.5982 ):
x1 = 4 - 6.598230.5982 approx 4 - 0.2153 = 3.7847

Passo 6

Segunda iteração ( f(x1) = e^3.7847 - 3(3.7847)^2 approx 43.7336 - 42.9036 = 0.8300 ):
f'(x1) = e^3.7847 - 6(3.7847) approx 43.7336 - 22.7082 = 21.0254
x2 = 3.7847 - 0.830021.0254 approx 3.7847 - 0.0395 = 3.7452

Passo 7

Terceira iteração ( f(x2) = e^3.7452 - 3(3.7452)^2 approx 42.1821 - 42.0750 = 0.1071 ):
f'(x2) = e^3.7452 - 6(3.7452) approx 42.1821 - 22.4712 = 19.7109
x3 = 3.7452 - 0.107119.7109 approx 3.7452 - 0.0054 = 3.7398

Passo 8

Quarta iteração ( f(x3) = e^3.7398 - 3(3.7398)^2 approx 41.9210 - 42.0001 = -0.0791 ):
f'(x3) = e^3.7398 - 6(3.7398) approx 41.9210 - 22.4388 = 19.4822
x4 = 3.7398 - -0.079119.4822 approx 3.7398 + 0.0041 = 3.7439

Passo 9

Quinta iteração ( f(x4) = e^3.7439 - 3(3.7439)^2 approx 42.0349 - 42.0000 = 0.0349 ):
f'(x4) = e^3.7439 - 6(3.7439) approx 42.0349 - 22.4634 = 19.5715
x5 = 3.7439 - 0.034919.5715 approx 3.7439 - 0.0018 = 3.7421

Passo 10

Sexta iteração ( f(x5) = e^3.7421 - 3(3.7421)^2 approx 42.0025 - 42.0000 = 0.0025 ):
f'(x5) = e^3.7421 - 6(3.7421) approx 42.0025 - 22.4526 = 19.5499
x6 = 3.7421 - 0.002519.5499 approx 3.7421 - 0.0001 = 3.7420

Passo 11

Sétima iteração ( f(x6) = e^3.7420 - 3(3.7420)^2 approx 42.0002 - 42.0000 = 0.0002 ):
f'(x6) = e^3.7420 - 6(3.7420) approx 42.0002 - 22.4520 = 19.5482
x7 = 3.7420 - 0.000219.5482 approx 3.7420 - 0.0000 = 3.7420
Como a diferença entre e é menor que , paramos aqui.

Resposta

A aproximação da solução para a equação no intervalo [3,5] usando o Método de Newton é .

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