Use o Método de Newton para encontrar uma aproximação
para cada equação a seguir. A solução se encontra dentro do intervalo a frente de cada equação. Trabalhe com 4 casas decimais e como critério de parada considere
. Tome a aproximação inicial como sendo o ponto médio dos intervalos apresentados.
(e)
para
;
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação
usando o Método de Newton. Isso faz parte da matéria de Métodos Numéricos, que nos ajuda a encontrar soluções aproximadas para equações quando resolver diretamente é complicado. Para isso, precisamos calcular derivadas e iterar usando uma fórmula específica. A ideia é começar com um chute inicial, que aqui será o ponto médio do intervalo [3,5], e refinar esse chute até chegar perto da solução com uma precisão de 4 casas decimais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto médio do intervalo [3,5], que será a nossa aproximação inicial
.
Então, começamos com
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar da fórmula do Método de Newton. Para uma função
, a próxima aproximação
é dada por:
Aqui,
. Vamos precisar também da derivada dessa função,
.
Passo 4
Calculando a derivada de
:
Com isso, temos tudo que precisamos para aplicar a fórmula do Método de Newton.
Passo 5
Agora, vamos iterar usando a fórmula. Começamos com
.
Primeira iteração (
):
Passo 6
Segunda iteração (
):
Passo 7
Terceira iteração (
):
Passo 8
Quarta iteração (
):
Passo 9
Quinta iteração (
):
Passo 10
Sexta iteração (
):
Passo 11
Sétima iteração (
):
Como a diferença entre
e
é menor que
, paramos aqui.
Resposta
A aproximação da solução para a equação
no intervalo [3,5] usando o Método de Newton é
.