Determine o domínio e imagem das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir o domínio e a imagem da função
. Isso envolve entender onde a função está bem definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem). Para isso, vamos lembrar um pouquinho sobre logaritmos naturais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. Como estamos lidando com o logaritmo natural,
, é importante lembrar que o argumento
tem que ser positivo. Ou seja, para
fazer sentido, o que está dentro do logaritmo precisa ser maior que zero:
Isso significa que, para qualquer par
, a condição
deve ser verdadeira. Então, o domínio é todos os pares
onde
é maior que
.
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores que a função pode assumir. Sabemos que o logaritmo natural pode gerar qualquer número real, dependendo do valor do seu argumento. Como
é sempre positivo no domínio que definimos, ele pode variar de
a
.
Quando
se aproxima de 0,
vai para
. E conforme
cresce sem limite,
também cresce sem limite positivo. Portanto, a imagem da função é todo o conjunto dos números reais.
Resposta
Domínio: Todos os pares
tais que
.
Imagem: Todos os números reais,
.
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Seja
. Calcule:
Seja
.
têm pontos extremos e valores extremos?
Seja
.
Determine as curvas de nível: e
Determine as curvas de nível:
A função
é contínua em
? Justifique sua resposta.