Determine o domínio e imagem das seguintes funções:
f(x, y)=ln (y-x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir o domínio e a imagem da função . Isso envolve entender onde a função está bem definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem). Para isso, vamos lembrar um pouquinho sobre logaritmos naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. Como estamos lidando com o logaritmo natural, y - x > 0 , é importante lembrar que o argumento tem que ser positivo. Ou seja, para fazer sentido, o que está dentro do logaritmo precisa ser maior que zero:
Isso significa que, para qualquer par , a condição deve ser verdadeira. Então, o domínio é todos os pares onde é maior que .

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores que a função pode assumir. Sabemos que o logaritmo natural pode gerar qualquer número real, dependendo do valor do seu argumento. Como é sempre positivo no domínio que definimos, ele pode variar de a .
Quando se aproxima de 0, vai para . E conforme cresce sem limite, também cresce sem limite positivo. Portanto, a imagem da função é todo o conjunto dos números reais.

Resposta

Domínio: Todos os pares tais que .
Imagem: Todos os números reais, .

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