Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado nos dá a função e pede para determinarmos as curvas de nível e .
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com curvas de nível, que são curvas no plano onde a função assume um valor constante. Elas são úteis para visualizar funções de duas variáveis.
O que vamos precisar: Vamos usar o conceito de curvas de nível e resolver equações para encontrar as expressões dessas curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Para uma função , a curva de nível é definida por:
Ou seja, fixamos um valor e resolvemos a equação para e .
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa função . Para cada curva de nível , temos:
Vamos resolver essa equação para e .
Passo 4
Primeiro, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
Agora, vamos rearranjar a equação para isolarmos :
Passo 5
A equação representa uma circunferência com raio igual a e centro na origem (0,0).
Então, para cada , a curva de nível é uma circunferência com raio .
Passo 6
Vamos agora determinar as curvas de nível e :
Curva de Nível :
Essa é uma circunferência de raio 3.
Curva de Nível :
Circunferência de raio ou .
Curva de Nível :
Circunferência de raio .
Curva de Nível :
Isso significa que e , que é apenas o ponto (0,0).