Seja g(x, y)=raiz9-x^2-y^2.
Determine as curvas de nível: C0, C1, C2 e C3

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado nos dá a função e pede para determinarmos as curvas de nível e .
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com curvas de nível, que são curvas no plano onde a função assume um valor constante. Elas são úteis para visualizar funções de duas variáveis.
O que vamos precisar: Vamos usar o conceito de curvas de nível e resolver equações para encontrar as expressões dessas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Para uma função Ck: g(x, y) = k , a curva de nível é definida por:
Ou seja, fixamos um valor e resolvemos a equação para e .

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa função raiz9 - x^2 - y^2 = k . Para cada curva de nível , temos:
Vamos resolver essa equação para e .

Passo 4

Primeiro, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
9 - x^2 - y^2 = k^2
Agora, vamos rearranjar a equação para isolarmos x^2 + y^2 = 9 - k^2 :

Passo 5

A equação representa uma circunferência com raio igual a e centro na origem (0,0).
Então, para cada , a curva de nível é uma circunferência com raio .

Passo 6

Vamos agora determinar as curvas de nível x^2 + y^2 = 9 - 0^2 Rightarrow x^2 + y^2 = 9 e x^2 + y^2 = 9 - 1^2 Rightarrow x^2 + y^2 = 8 :
  • Curva de Nível x^2 + y^2 = 9 - 2^2 Rightarrow x^2 + y^2 = 5 :
    x^2 + y^2 = 9 - 3^2 Rightarrow x^2 + y^2 = 0
    Essa é uma circunferência de raio 3.
  • Curva de Nível :
    Circunferência de raio ou .
  • Curva de Nível :
    Circunferência de raio .
  • Curva de Nível :
    Isso significa que e , que é apenas o ponto (0,0).

Resposta

As curvas de nível são:
C0: x^2 + y^2 = 9 C1: x^2 + y^2 = 8 C2: x^2 + y^2 = 5 C3: x^2 + y^2 = 0 (ponto (0,0))

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