A função
é contínua em
? Justifique sua resposta.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos a função
e precisamos verificar se ela é contínua em todo o plano
. Para isso, vamos lembrar o que significa continuidade para funções de duas variáveis e identificar possíveis pontos problemáticos.
Passo 2
Continuidade em duas variáveis significa que, se você se aproximar de qualquer ponto no plano, o valor da função se aproxima de um valor específico. Isso precisa ser válido para todos os pontos em
.
Passo 3
Vamos analisar a função
. O primeiro passo é olhar para o denominador,
. Se o denominador for zero, a função não está definida nesse ponto, o que pode causar problemas de continuidade.
Passo 4
Resolvendo
, vemos que isso acontece apenas quando
e
. Portanto, a função não está definida no ponto
. Isso significa que precisamos verificar a continuidade em todos os outros pontos onde o denominador é diferente de zero.
Passo 5
Nos pontos onde
, a função é uma razão de polinômios. Sabemos que polinômios são funções contínuas em todo o seu domínio, e a razão de polinômios também é contínua onde o denominador não é zero. Assim, em todos esses pontos, a função
é contínua.
Passo 6
No ponto
, já vimos que a função não está definida. Como a continuidade exige que a função esteja definida no ponto em questão, isso significa que
não é contínua em
.
Resposta
A função
é contínua em todo o plano
, exceto no ponto
, onde não está definida.