A função f(x, y)=x^2-y^2x^2+y^2 é contínua em R^2 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos a função e precisamos verificar se ela é contínua em todo o plano . Para isso, vamos lembrar o que significa continuidade para funções de duas variáveis e identificar possíveis pontos problemáticos.

Passo 2

Continuidade em duas variáveis significa que, se você se aproximar de qualquer ponto no plano, o valor da função se aproxima de um valor específico. Isso precisa ser válido para todos os pontos em .

Passo 3

Vamos analisar a função . O primeiro passo é olhar para o denominador, . Se o denominador for zero, a função não está definida nesse ponto, o que pode causar problemas de continuidade.

Passo 4

Resolvendo , vemos que isso acontece apenas quando e . Portanto, a função não está definida no ponto . Isso significa que precisamos verificar a continuidade em todos os outros pontos onde o denominador é diferente de zero.

Passo 5

Nos pontos onde , a função é uma razão de polinômios. Sabemos que polinômios são funções contínuas em todo o seu domínio, e a razão de polinômios também é contínua onde o denominador não é zero. Assim, em todos esses pontos, a função é contínua.

Passo 6

No ponto , já vimos que a função não está definida. Como a continuidade exige que a função esteja definida no ponto em questão, isso significa que não é contínua em .

Resposta

A função é contínua em todo o plano , exceto no ponto , onde não está definida.

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