Seja f(x, y)=2-x^2-y^2. f têm pontos extremos e valores extremos?

Passo 1

Beleza! Então, a gente tem a função . A questão está perguntando se essa função tem pontos extremos e quais são esses valores extremos. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre pontos extremos de funções de duas variáveis, que são basicamente os pontos onde a função atinge seus valores máximos ou mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Ponto crítico é onde as derivadas parciais da função em relação a partial fpartial x = -2x e partial fpartial y = -2y são iguais a zero. Vamos calcular essas derivadas:

Passo 3

Agora, igualamos as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
-2x = 0 Rightarrow x = 0
-2y = 0 Rightarrow y = 0
Então, o único ponto crítico é .

Passo 4

Para determinar se esse ponto crítico é um máximo, mínimo ou ponto de sela, usamos o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
partial^2 fpartial x^2 = -2
partial^2 fpartial y^2 = -2
partial^2 fpartial x partial y = 0
Agora, calculamos o determinante da matriz Hessiana:
D = partial^2 fpartial x^2 cdot partial^2 fpartial y^2 - ( partial^2 fpartial x partial y )^2 = (-2)(-2) - (0)^2 = 4

Passo 5

Analisando o valor de :
  • Se e , então temos um máximo local.
  • Se e , então temos um mínimo local.
  • Se , é um ponto de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, e . Então, o ponto é um máximo local.

Passo 6

Finalmente, vamos encontrar o valor máximo da função nesse ponto crítico:
f(0, 0) = 2 - (0)^2 - (0)^2 = 2

Resposta

A função tem um ponto extremo que é um máximo no ponto com valor máximo igual a 2.

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