Seja
.
têm pontos extremos e valores extremos?
Passo 1
Beleza! Então, a gente tem a função
. A questão está perguntando se essa função tem pontos extremos e quais são esses valores extremos. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre pontos extremos de funções de duas variáveis, que são basicamente os pontos onde a função atinge seus valores máximos ou mínimos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Ponto crítico é onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Vamos calcular essas derivadas:
Passo 3
Agora, igualamos as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, o único ponto crítico é
.
Passo 4
Para determinar se esse ponto crítico é um máximo, mínimo ou ponto de sela, usamos o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Agora, calculamos o determinante da matriz Hessiana:
Passo 5
Analisando o valor de
:
- Se
e , então temos um máximo local. - Se
e , então temos um mínimo local. - Se
, é um ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso,
e
. Então, o ponto
é um máximo local.
Passo 6
Finalmente, vamos encontrar o valor máximo da função nesse ponto crítico:
Resposta
A função
tem um ponto extremo que é um máximo no ponto
com valor máximo igual a 2.
Exercícios relacionados
A função
é diferenciável em
?
Determine os pontos críticos de
, onde:
.
Seja
. Calcule:
Determine o domínio e imagem das seguintes funções: