Determine o domínio e imagem das seguintes funções:
f(x, y)=x^2+y^2-2 x y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente determinar o domínio e a imagem da função . Isso faz parte da matéria de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender o que é domínio (quais valores de e a função aceita) e imagem (quais valores a função pode produzir).

Passo 2

Determinar o domínio:
Primeiro, vamos ver para quais valores de e a função está definida. A função é um polinômio, ou seja, é formada por potências de e sem divisões por zero ou outras complicações.
Dessa forma, não há restrições nos valores de e . Podemos usar qualquer número real para ambos.
Então, o domínio é todo o par de números reais, ou seja, .

Passo 3

Determinar a imagem:
Agora, vamos descobrir quais valores a função f(x, y) = x^2 + y^2 - 2xy pode assumir. Observando a função:
f(x, y) = (x - y)^2
Podemos reescrever isso de uma forma mais simples:
(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2
Isso é porque:
(x - y)^2 >= 0
Ent��o, .
Sabemos que o quadrado de qualquer número real é sempre não negativo, ou seja, é maior ou igual a zero.
Portanto, a imagem da função é todo número real não negativo, que escrevemos como .

Resposta

Domínio:
Imagem:

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