Seja f(x, y)=x+y^2-1. Calcule:
f(x, y+k)-f(x, y)h

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função de duas variáveis, . A questão pede para calcular a expressão . Isso está relacionado ao conceito de derivadas parciais, onde analisamos como a função muda quando alteramos uma das variáveis, no caso, . Para resolver isso, vamos substituir as variáveis na função e simplificar a expressão passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular f(x, y + k) = x + (y + k)^2 - 1 . Substituindo por na função:

Passo 3

Agora, vamos calcular a diferença f(x, y + k) - f(x, y) = ( x + (y + k)^2 - 1 ) - ( x + y^2 - 1 ) :

Passo 4

Simplificando a expressão acima, cancelamos os termos iguais:
f(x, y + k) - f(x, y) = (y + k)^2 - y^2

Passo 5

Agora, vamos expandir (y + k)^2 = y^2 + 2yk + k^2 :
f(x, y + k) - f(x, y) = y^2 + 2yk + k^2 - y^2 = 2yk + k^2
Substituindo de volta na diferença:

Passo 6

Finalmente, dividimos a diferença por f(x, y + k) - f(x, y)h = 2yk + k^2h conforme a expressão inicial:

Resposta

A expressão simplificada é:
2yk + k^2h

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