Prove que o algoritmo iterativo
converge para qualquer valor inicial .
Determine o valor para o qual este algoritmo converge.

Passo 1

Então, a gente tem um algoritmo iterativo que é dado por:
O objetivo aqui é provar que, independente de onde a gente começar com , essa sequência vai sempre chegar perto de um certo valor fixo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites e propriedades de sequências monotônicas e limitadas.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a sequência converge para algum limite . Se isso acontece, então o próximo termo também vai convergir para o mesmo limite, ou seja:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de . Vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando os dois lados por para se livrar da fração:
Distribuindo :

Passo 4

Essa é uma equação polinomial de quarto grau. Para facilitar, vamos rearranjá-la:
Agora, vamos fazer uma substituição: seja . Então, a equação fica:

Passo 5

Resolvendo essa equação quadrática para usando a fórmula de Bhaskara:
Como e não pode ser negativo, descartamos a solução negativa:
Portanto:

Passo 6

Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar :
Como estamos lidando com valores positivos no contexto do algoritmo, consideramos apenas a raiz positiva.

Passo 7

Para confirmar que a sequência realmente converge para esse valor, precisamos verificar que a sequência é monótona e limitada. Inicialmente, escolhemos um valor qualquer, e aplicamos a função de iteração:
Analisando a função , percebemos que ela é decrescente para , e tende a aproximar-se de um limite fixo conforme aumenta.

Resposta

O algoritmo iterativo converge para o valor .

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Represente 2.6 no sistema binário de ponto flutuante com 8 casas na mantissa .
Determine equação da reta mais próxima ao gráfico no intervalo .
Escreve a função de iteração para resolver a equação
utilizando o método de Newton-Raphson.
Represente 6.4 no sistema binário de ponto flutuante com 8 casas na mantissa .