Prove que o algoritmo iterativo
converge para qualquer valor inicial
.
Determine o valor para o qual este algoritmo converge.
Determine o valor para o qual este algoritmo converge.
Passo 1
Então, a gente tem um algoritmo iterativo que é dado por:
O objetivo aqui é provar que, independente de onde a gente começar com
, essa sequência vai sempre chegar perto de um certo valor fixo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites e propriedades de sequências monotônicas e limitadas.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a sequência
converge para algum limite
. Se isso acontece, então o próximo termo também vai convergir para o mesmo limite, ou seja:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
. Vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando os dois lados por
para se livrar da fração:
Distribuindo
:
Passo 4
Essa é uma equação polinomial de quarto grau. Para facilitar, vamos rearranjá-la:
Agora, vamos fazer uma substituição: seja
. Então, a equação fica:
Passo 5
Resolvendo essa equação quadrática para
usando a fórmula de Bhaskara:
Como
e
não pode ser negativo, descartamos a solução negativa:
Portanto:
Passo 6
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar
:
Como estamos lidando com valores positivos no contexto do algoritmo, consideramos apenas a raiz positiva.
Passo 7
Para confirmar que a sequência realmente converge para esse valor, precisamos verificar que a sequência é monótona e limitada. Inicialmente, escolhemos um valor
qualquer, e aplicamos a função de iteração:
Analisando a função
, percebemos que ela é decrescente para
, e tende a aproximar-se de um limite fixo conforme
aumenta.
Resposta
O algoritmo iterativo converge para o valor
.
Exercícios relacionados
Represente 2.6 no sistema binário
de ponto flutuante com 8 casas na mantissa
.
Determine equação da reta mais próxima ao gráfico
no intervalo
.
Escreve a função de iteração para resolver a equação
utilizando o método de Newton-Raphson.
Represente 6.4 no sistema binário
de ponto flutuante com 8 casas na mantissa
.