Prove que o algoritmo iterativo
yk+1=1raiz2+yk^2
converge para qualquer valor inicial y0.
Determine o valor para o qual este algoritmo converge.

Passo 1

Então, a gente tem um algoritmo iterativo que é dado por:
yk+1 = 1raiz2 + yk^2
O objetivo aqui é provar que, independente de onde a gente começar com y0, essa sequência vai sempre chegar perto de um certo valor fixo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites e propriedades de sequências monotônicas e limitadas.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a sequência (yk) converge para algum limite L. Se isso acontece, então o próximo termo também vai convergir para o mesmo limite, ou seja:
L = 1raiz2 + L^2

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de L. Vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
L^2 = 12 + L^2
Multiplicando os dois lados por (2 + L^2) para se livrar da fração:
L^2(2 + L^2) = 1
Distribuindo L^2:
2L^2 + L^4 = 1

Passo 4

Essa é uma equação polinomial de quarto grau. Para facilitar, vamos rearranjá-la:
L^4 + 2L^2 - 1 = 0
Agora, vamos fazer uma substituição: seja x = L^2. Então, a equação fica:
x^2 + 2x - 1 = 0

Passo 5

Resolvendo essa equação quadrática para x usando a fórmula de Bhaskara:
x = -2 pm raiz(2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-1)2 cdot 1 = -2 pm raiz4 + 42 = -2 pm raiz82 = -2 pm 2raiz22 = -1 pm raiz2
Como x = L^2 e L^2 não pode ser negativo, descartamos a solução negativa:
x = -1 + raiz2
Portanto:
L^2 = -1 + raiz2

Passo 6

Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar L:
L = raiz-1 + raiz2
Como estamos lidando com valores positivos no contexto do algoritmo, consideramos apenas a raiz positiva.

Passo 7

Para confirmar que a sequência realmente converge para esse valor, precisamos verificar que a sequência é monótona e limitada. Inicialmente, escolhemos um valor y0 qualquer, e aplicamos a função de iteração:
yk+1 = f(yk) = 1raiz2 + yk^2
Analisando a função f(y), percebemos que ela é decrescente para y > 0, e tende a aproximar-se de um limite fixo conforme k aumenta.

Resposta

O algoritmo iterativo converge para o valor L = raiz-1 + raiz2.

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