Escreve a função de iteração para resolver equação x^3=a pelo método de Newton.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para escrever a função de iteração usando o Método de Newton para resolver a equação . Isso entra na área de Cálculo, especificamente em métodos numéricos para encontrar raízes de equações. Para resolver, vamos precisar entender como o Método de Newton funciona e aplicar ele nessa equação específica.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação f(x) = x^3 - a na forma padrão . Isso facilita a aplicação do Método de Newton. Então, temos:

Passo 3

O Método de Newton usa a seguinte fórmula de iteração para aproximar a raiz de xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) :
Aqui, é a estimativa atual, e será a próxima estimativa.

Passo 4

Agora, precisamos derivar a função f'(x) = 3x^2 para encontrar . Derivando , temos:

Passo 5

Substituindo xn+1 = xn - xn^3 - a3xn^2 e na fórmula do Método de Newton, ficamos com:

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão para tornar a função de iteração mais clara:
xn+1 = xn - xn^33xn^2 + a3xn^2
xn+1 = 23xn + a3xn^2

Passo 7

Portanto, a função de iteração final para resolver xn+1 = 23xn + a3xn^2 usando o Método de Newton fica:

Resposta

A função de iteração pelo Método de Newton para resolver a equação xn+1 = 23xn + a3xn^2 é:

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