Prove que equação
possui uma raiz localizada no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a equação
tem pelo menos uma raiz no intervalo
. Isso está relacionado ao Teorema de Bolzano, que usamos para mostrar a existência de raízes em intervalos específicos. Vamos precisar avaliar a função nesses pontos e ver como ela se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função que está na equação:
. Nosso objetivo é achar se existe algum valor de
entre 0 e 1 que faz
.
Passo 3
Vamos calcular
e
para ver os valores da função nos extremos do intervalo:
Passo 4
Agora, observamos que
e
. Então, a função muda de negativo para positivo ao passar de 0 para 1.
Passo 5
Segundo o Teorema de Bolzano, se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, então existe pelo menos uma raiz nesse intervalo. Nossa função
é um polinômio, e todos os polinômios são funções contínuas em todo o seu domínio.
Passo 6
Como
passa de negativo para positivo no intervalo
e é contínua, pelo Teorema de Bolzano, existe pelo menos um valor de
nesse intervalo que faz
.
Resposta
Portanto, a equação
possui pelo menos uma raiz no intervalo
.
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