Prove que equação possui uma raiz localizada no intervalo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a equação tem pelo menos uma raiz no intervalo . Isso está relacionado ao Teorema de Bolzano, que usamos para mostrar a existência de raízes em intervalos específicos. Vamos precisar avaliar a função nesses pontos e ver como ela se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função que está na equação: . Nosso objetivo é achar se existe algum valor de entre 0 e 1 que faz .

Passo 3

Vamos calcular e para ver os valores da função nos extremos do intervalo:

Passo 4

Agora, observamos que e . Então, a função muda de negativo para positivo ao passar de 0 para 1.

Passo 5

Segundo o Teorema de Bolzano, se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, então existe pelo menos uma raiz nesse intervalo. Nossa função é um polinômio, e todos os polinômios são funções contínuas em todo o seu domínio.

Passo 6

Como passa de negativo para positivo no intervalo e é contínua, pelo Teorema de Bolzano, existe pelo menos um valor de nesse intervalo que faz .

Resposta

Portanto, a equação possui pelo menos uma raiz no intervalo .

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