Determine equação da reta mais próxima ao gráfico no intervalo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação da reta que fica mais pertinho do gráfico da função no intervalo de até . O conteúdo que vamos usar aqui é o de ajuste de curvas pelo método dos mínimos quadrados, que ajuda a encontrar a melhor reta que “sobra” mais ou menos sobre um conjunto de pontos ou, no nosso caso, sobre uma função inteira.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma reta é , onde é o coeficiente angular (inclinação) e é o coeficiente linear (interseção com o eixo y). Nosso objetivo é encontrar os valores de e que fazem essa reta ficar a mais próxima possível do gráfico de no intervalo dado.

Passo 3

Para medir o quão “perto” a reta está da função, usamos o método dos mínimos quadrados, que basicamente minimiza a soma dos quadrados das diferenças entre os valores da função original e os valores da reta em cada ponto do intervalo. Matemáticamente, queremos minimizar a integral:

Passo 4

Para encontrar os valores de e que minimizam essa integral, precisamos derivar em relação a e , e igualar as derivadas a zero. Isso nos dará um sistema de equações que podemos resolver.
Primeiro, vamos expandir a expressão dentro da integral:
Agora, vamos derivar em relação a e :

Passo 5

Agora, vamos resolver essas equações. Primeiro, simplificamos as integrais:
Para :
Expandindo:
Note que é zero porque a função é ímpar e o intervalo é simétrico. Então, simplificamos:
Calculando as integrais:
Então:
Agora, para :
Substituindo :
Calculando as integrais:
çãí
Então:

Resposta

A equação da reta mais próxima ao gráfico de no intervalo é:

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Escreve a função de iteração para resolver a equação
utilizando o método de Newton-Raphson.
Prove que o algoritmo iterativo
converge para qualquer valor inicial .
Qual equação vai resolver este algoritmo iterativo?
) A equação de movimento de uma partícula é , onde é medida em centímetros e , em segundos. Obs.: A aceleração é a derivada do espaço (equação de movimento) pelo tempo, ou seja, .
b) Qual é a aceleração depois de 2 segundos?
) A quantidade de carga , em coulombs ©, que passa através de um ponto em um fio até o instante (medido em segundos) é dada por:
b) Calcule a corrente elétrica quando .