Determine equação da reta mais próxima ao gráfico
no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação da reta que fica mais pertinho do gráfico da função
no intervalo de
até
. O conteúdo que vamos usar aqui é o de ajuste de curvas pelo método dos mínimos quadrados, que ajuda a encontrar a melhor reta que “sobra” mais ou menos sobre um conjunto de pontos ou, no nosso caso, sobre uma função inteira.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma reta é
, onde
é o coeficiente angular (inclinação) e
é o coeficiente linear (interseção com o eixo y). Nosso objetivo é encontrar os valores de
e
que fazem essa reta ficar a mais próxima possível do gráfico de
no intervalo dado.
Passo 3
Para medir o quão “perto” a reta está da função, usamos o método dos mínimos quadrados, que basicamente minimiza a soma dos quadrados das diferenças entre os valores da função original e os valores da reta em cada ponto do intervalo. Matemáticamente, queremos minimizar a integral:
Passo 4
Para encontrar os valores de
e
que minimizam essa integral, precisamos derivar
em relação a
e
, e igualar as derivadas a zero. Isso nos dará um sistema de equações que podemos resolver.
Primeiro, vamos expandir a expressão dentro da integral:
Agora, vamos derivar
em relação a
e
:
Passo 5
Agora, vamos resolver essas equações. Primeiro, simplificamos as integrais:
Para
:
Expandindo:
Note que
é zero porque a função é ímpar e o intervalo é simétrico. Então, simplificamos:
Calculando as integrais:
Então:
Agora, para
:
Substituindo
:
Calculando as integrais:
Então:
Resposta
A equação da reta mais próxima ao gráfico de
no intervalo
é:
Exercícios relacionados
Escreve a função de iteração para resolver a equação
utilizando o método de Newton-Raphson.
Prove que o algoritmo iterativo
converge para qualquer valor inicial
.
Qual equação vai resolver este algoritmo iterativo?
Qual equação vai resolver este algoritmo iterativo?
b) Qual é a aceleração depois de 2 segundos?
b) Calcule a corrente elétrica
quando
.