Determine equação da reta mais próxima ao gráfico y=x^5-1 no intervalo [-1,1].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação da reta que fica mais pertinho do gráfico da função no intervalo de até . O conteúdo que vamos usar aqui é o de ajuste de curvas pelo método dos mínimos quadrados, que ajuda a encontrar a melhor reta que “sobra” mais ou menos sobre um conjunto de pontos ou, no nosso caso, sobre uma função inteira.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma reta é , onde é o coeficiente angular (inclinação) e é o coeficiente linear (interseção com o eixo y). Nosso objetivo é encontrar os valores de e que fazem essa reta ficar a mais próxima possível do gráfico de no intervalo dado.

Passo 3

Para medir o quão “perto” a reta está da função, usamos o método dos mínimos quadrados, que basicamente minimiza a soma dos quadrados das diferenças entre os valores da função original e os valores da reta em cada ponto do intervalo. Matemáticamente, queremos minimizar a integral:
E(a, b) = integral-1^1 ( x^5 - 1 - (a x + b) )^2 dx

Passo 4

Para encontrar os valores de E(a, b) = integral-1^1 ( x^5 - 1 - a x - b )^2 dx e partial Epartial a = -2 integral-1^1 x ( x^5 - 1 - a x - b ) dx = 0 que minimizam essa integral, precisamos derivar partial Epartial b = -2 integral-1^1 ( x^5 - 1 - a x - b ) dx = 0 em relação a e , e igualar as derivadas a zero. Isso nos dará um sistema de equações que podemos resolver.
Primeiro, vamos expandir a expressão dentro da integral:
Agora, vamos derivar em relação a e :

Passo 5

Agora, vamos resolver essas equações. Primeiro, simplificamos as integrais:
Para integral-1^1 x ( x^5 - 1 - a x - b ) dx = 0 :
integral-1^1 x^6 dx - integral-1^1 x dx - a integral-1^1 x^2 dx - b integral-1^1 x dx = 0
Expandindo:
integral-1^1 x^6 dx - a integral-1^1 x^2 dx = 0
Note que integral-1^1 x^6 dx = 2 times 17 = 27 é zero porque a função é ímpar e o intervalo é simétrico. Então, simplificamos:
integral-1^1 x^2 dx = 2 times 13 = 23
Calculando as integrais:
27 - a times 23 = 0 implies a = 27 times 32 = 37
integral-1^1 ( x^5 - 1 - a x - b ) dx = 0
Então:
integral-1^1 x^5 dx - integral-1^1 1 dx - 37 integral-1^1 x dx - b integral-1^1 1 dx = 0
Agora, para integral-1^1 x^5 dx = 0 (função ímpar) :
integral-1^1 1 dx = 2
Substituindo integral-1^1 x dx = 0 :
0 - 2 - b times 2 = 0 implies -2 - 2b = 0 implies b = -1
Calculando as integrais:
çãí
Então:

Resposta

A equação da reta mais próxima ao gráfico de y = 37x - 1 no intervalo é:

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