Prove que o algoritmo iterativo
xk+1=2 ln (3+xk)
converge para qualquer valor inicial x0>0.
Qual equação vai resolver este algoritmo iterativo?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem um algoritmo iterativo que é definido por:
xk+1 = 2 ln(3 + xk)
O objetivo é provar que, independente do valor inicial , essa sequência vai convergir, ou seja, vai chegar a um valor fixo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre algoritmos iterativos e pontos fixos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um algoritmo iterativo. Basicamente, é um método que gera uma sequência de valores onde cada termo é calculado a partir do termo anterior usando uma fórmula específica. No nosso caso, a fórmula é .

Passo 3

Para mostrar que essa sequência converge, a gente vai procurar um ponto fixo. Um ponto fixo é um valor x = 2 ln(3 + x) que, quando aplicado na fórmula iterativa, retorna ele mesmo. Matemática isso significa que:
Essa é a equação que vamos resolver para encontrar o valor para o qual a sequência está convergindo.

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação:
x = 2 ln(3 + x)
Essa é uma equação transcendental, o que significa que não tem uma solução analítica simples. Porém, a existência dessa solução e a convergência da sequência para ela podem ser analisadas usando propriedades de funções monotônicas e o Teorema do Ponto Fixo.

Passo 5

Sem entrar em detalhes complexos, a ideia é que se a função for uma função que traz os valores para um intervalo onde ela é contrátil (isto é, aproxima os valores uns dos outros), então, pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach, a sequência vai convergir para esse ponto fixo.

Resposta

A equação que resolve o algoritmo iterativo é:
x = 2 ln(3 + x)

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