Prove que o algoritmo iterativo
converge para qualquer valor inicial
.
Qual equação vai resolver este algoritmo iterativo?
Qual equação vai resolver este algoritmo iterativo?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem um algoritmo iterativo que é definido por:
O objetivo é provar que, independente do valor inicial
, essa sequência vai convergir, ou seja, vai chegar a um valor fixo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre algoritmos iterativos e pontos fixos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um algoritmo iterativo. Basicamente, é um método que gera uma sequência de valores
onde cada termo é calculado a partir do termo anterior usando uma fórmula específica. No nosso caso, a fórmula é
.
Passo 3
Para mostrar que essa sequência converge, a gente vai procurar um ponto fixo. Um ponto fixo é um valor
que, quando aplicado na fórmula iterativa, retorna ele mesmo. Matemática isso significa que:
Essa é a equação que vamos resolver para encontrar o valor para o qual a sequência está convergindo.
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação:
Essa é uma equação transcendental, o que significa que não tem uma solução analítica simples. Porém, a existência dessa solução e a convergência da sequência para ela podem ser analisadas usando propriedades de funções monotônicas e o Teorema do Ponto Fixo.
Passo 5
Sem entrar em detalhes complexos, a ideia é que se a função
for uma função que traz os valores para um intervalo onde ela é contrátil (isto é, aproxima os valores uns dos outros), então, pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach, a sequência vai convergir para esse ponto fixo.
Resposta
A equação que resolve o algoritmo iterativo é:
Exercícios relacionados
Seja
Descreve o algoritmo para calcular valores da função
utilizando um sistema de ponto flutuante, tal que o erro relativo do resultado será da ordem do erro da representação.
Represente 6.4 no sistema binário
de ponto flutuante com 8 casas na mantissa
.
Escreve a função de iteração para resolver a equação
utilizando o método de Newton-Raphson.
Determine equação da reta mais próxima ao gráfico
no intervalo
.