5^a ) A quantidade de carga Q, em coulombs ©, que passa através de um ponto em um fio até o instante t (medido em segundos) é dada por:
Q(t)=(t^3-2 t^2+6 t+2)^3
b) Calcule a corrente elétrica i(t)=d Q(t)d t quando t=1 s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a corrente elétrica quando segundo. O enunciado nos dá a função da carga . Para isso, vamos precisar usar o cálculo de derivadas, que faz parte da matéria de Cálculo Diferencial. Então, vamos lá entender passo a passo como encontrar a corrente elétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a corrente elétrica i(t) = dQ(t)dt é a taxa de variação da carga em relação ao tempo . Matemáticamente, isso é representado pela derivada de em relação a :
Então, nosso objetivo é encontrar essa derivada.

Passo 3

Vamos aplicar a regra da cadeia para derivar . A regra da cadeia é usada quando temos uma função dentro de outra função. Aqui, a função externa é algo elevado ao cubo e a interna é o polinômio .

Passo 4

De acordo com a regra da cadeia, a derivada de dQ(t)dt = 3(t^3 - 2t^2 + 6t + 2)^2 cdot ddt(t^3 - 2t^2 + 6t + 2) será:
Agora, precisamos calcular a derivada do polinômio interno.

Passo 5

Vamos derivar ddt(t^3 - 2t^2 + 6t + 2) = 3t^2 - 4t + 6 em relação a i(t) = 3(t^3 - 2t^2 + 6t + 2)^2 cdot (3t^2 - 4t + 6) :
Então, substituindo de volta na expressão da derivada de :

Passo 6

Agora, vamos substituir 1^3 - 2 cdot 1^2 + 6 cdot 1 + 2 = 1 - 2 + 6 + 2 = 7 na expressão de i(1) = 3 cdot (7)^2 cdot (3 cdot 1^2 - 4 cdot 1 + 6) = 3 cdot 49 cdot (3 - 4 + 6) = 3 cdot 49 cdot 5 :
Primeiro, calculamos o polinômio interno:
Então:

Passo 7

Vamos calcular os valores:
3 cdot 49 = 147
147 cdot 5 = 735
Então, a corrente elétrica quando segundo é 735 coulombs por segundo, ou 735 A (amperes).

Resposta

A corrente elétrica quando segundo é igual a .

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