Escreve a função de iteração para resolver a equação
y=cos y
utilizando o método de Newton-Raphson.

Passo 1

Vamos resolver a equação usando o método de Newton-Raphson. Esse método é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções, ou seja, valores de que satisfazem a equação. Para isso, vamos precisar calcular derivadas e aplicar a fórmula de iteração do método.

Passo 2

Primeiro, precisamos reescrever a equação f(y) = y - cos y = 0 de forma que possamos aplicar o método de Newton-Raphson. Vamos reorganizar a equação para que ela fique na forma :

Passo 3

O método de Newton-Raphson utiliza a seguinte fórmula de iteração para aproximar a raiz da função yn+1 = yn - f(yn)f'(yn) :
Onde:
  • é a aproximação atual,
  • é a próxima aproximação,
  • é o valor da função na aproximação atual,
  • é o valor da derivada da função na aproximação atual.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de f'(y) = 1 + sin y . Dada a função , sua derivada é:

Passo 5

Agora, substituímos yn+1 = yn - yn - cos yn1 + sin yn e na fórmula de iteração do método de Newton-Raphson:

Resposta

A função de iteração para resolver a equação yn+1 = yn - yn - cos yn1 + sin yn utilizando o método de Newton-Raphson é:

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