Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto de abscissa
e represente a função e a reta graficamente.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função
e precisamos encontrar a equação da reta tangente a essa função no ponto onde
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico de uma função.
Passo 2
Para encontrar a reta tangente, precisamos determinar dois elementos principais:
- O valor de
no ponto , que será a coordenada y do ponto de tangência. - A derivada da função
em , que nos dará a inclinação da reta tangente.
Passo 3
Vamos calcular
:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada de
. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação instantânea da função, ou seja, a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
.
Para
, a derivada
é:
Passo 5
Vamos calcular a derivada no ponto
:
Portanto, a inclinação da reta tangente nesse ponto é 1.
Passo 6
Agora que temos a inclinação
e o ponto de tangência
, podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto de abscissa
é: