Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)=x^3+x+3 no ponto de abscissa x0=0 e represente a função e a reta graficamente.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função e precisamos encontrar a equação da reta tangente a essa função no ponto onde . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico de uma função.

Passo 2

Para encontrar a reta tangente, precisamos determinar dois elementos principais:
  1. O valor de no ponto , que será a coordenada y do ponto de tangência.
  2. A derivada da função em , que nos dará a inclinação da reta tangente.

Passo 3

Vamos calcular f(0) = (0)^3 + 0 + 3 = 0 + 0 + 3 = 3 :
Então, o ponto de tangência é .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada de f'(x) = 3x^2 + 1 . A derivada de uma função nos dá a taxa de variação instantânea da função, ou seja, a inclinação da reta tangente em qualquer ponto .
Para , a derivada é:

Passo 5

Vamos calcular a derivada no ponto f'(0) = 3(0)^2 + 1 = 0 + 1 = 1 :
Portanto, a inclinação da reta tangente nesse ponto é 1.

Passo 6

Agora que temos a inclinação y - y1 = m(x - x1) e o ponto de tangência y - 3 = 1(x - 0) , podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:
y = x + 3
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico da função y = x + 3 no ponto de abscissa é:

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