Sabendo-se que dd x[f(x)]=f^prime(x) assinale a alternativa incorreta.
a) dd x[32 x^4-5 x+18]=6 x^3-5
b) dd x[e^2 x-e^-x]=2 e^2 x+e^-x
c) dd x[sen^2 x]=sen 2 x
d) dd x[x cdot cos x]=cos x+x sen x
e) dd x[1x^2]=-2x^3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma expressão envolvendo derivadas e precisamos identificar qual das alternativas está incorreta. Isso envolve conhecimentos de Cálculo Diferencial, especialmente sobre como calcular derivadas de funções polinomiais, exponenciais, trigonométricas e racionais.

Passo 2

Vamos analisar cada alternativa uma por uma, calculando a derivada de cada função apresentada e comparando com o que está na opção.

Passo 3

Alternativa a) ddx[32x^4] = 32 cdot 4x^4-1 = 6x^3
Para derivar essa função, usamos a regra do poder:
ddx[-5x] = -5
ddx[18] = 0
6x^3 - 5 + 0 = 6x^3 - 5
Somando tudo:
Está correta.

Passo 4

Alternativa b) ddx[e^2x] = 2e^2x
Aplicamos a regra da derivada da função exponencial:
ddx[-e^-x] = e^-x
2e^2x + e^-x
Somando:
Está correta.

Passo 5

Alternativa c) ddx[sin^2 x] = 2sin x cos x = sin(2x)
Usamos a regra da cadeia para derivar :
Está correta.

Passo 6

Alternativa d) ddx[x cdot cos x] = ddx[x] cdot cos x + x cdot ddx[cos x] = 1 cdot cos x + x cdot (-sin x) = cos x - x sin x
Aplicamos a regra do produto para derivar :
A alternativa apresenta , o que está incorreto, pois o sinal do segundo termo deveria ser negativo.

Passo 7

Alternativa e) ddx[x^-2] = -2x^-3 = -2x^3
Reescrevendo como e aplicando a regra do poder:
Está correta.

Resposta

A alternativa d) é incorreta.

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