O movimento de um objeto ocorre ao longo de uma reta horizontal, conforme a função horária
. Sabendo-se que a unidade de comprimento é o metro e de tempo, o segundo, calcule a velocidade e aceleração no instante
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de movimento retilíneo onde a posição do objeto é dada pela função horária
. A gente precisa encontrar a velocidade e a aceleração desse objeto no momento
segundos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a taxa de variação da posição (velocidade) e da velocidade (aceleração).
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a velocidade do objeto no instante
segundos. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, se
é a posição, então a velocidade
é dada por:
Vamos calcular a derivada de
:
Agora, substituímos
na expressão da velocidade:
Passo 3
Agora, vamos calcular a aceleração do objeto no mesmo instante. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição. Então, se
, a aceleração
é:
Note que a aceleração é constante e não depende do tempo.
Resposta
No instante
segundos, a velocidade do objeto é de 6 m/s e a aceleração é de 2 m/s².
Exercícios relacionados
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto de abscissa
e represente a função e a reta graficamente.
A fim de estudar como o organismo humano metaboliza o cálcio, um médico injetou no sangue de um paciente voluntário uma amostra de cálcio quimicamente marcado com o intuito de medir a rapidez com que tal produto é removido do sangue.
Admitindo que a função forneça a quantidade de cálcio (em mg ) que permanece na corrente sanguínea após
horas, podemos afirmar que a taxa segundo a qual o cálcio está sendo eliminado da corrente sanguínea, 2 horas após ter sido ministrado é
a) por hora.
b) por hora
c) por hora
d) por hora
e) por hora
Admitindo que a função
a)
b)
c)
d)
e)
Calcule as derivadas
Calcule a derivada no ponto de abscissa 3 para a função
e, a seguir, marque a alternativa correspondente:
a) -8
b) 1
c) 8
d) 16
e) NDA
a) -8
b) 1
c) 8
d) 16
e) NDA