Se f(x)=sen x e g(x)=cos x, calcular
g^prime(x)+f^prime(x)f(x)-g(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções trigonométricas: e . O objetivo é calcular a expressão . Para isso, vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas e realizar operações básicas de álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de f^prime(x) = cos x . A derivada de seno é cosseno, ou seja:
Isso significa que a taxa de variação de em relação a é .

Passo 3

Agora, vamos derivar g^prime(x) = -sin x . A derivada de cosseno é menos seno:
Então, a taxa de variação de em relação a é .

Passo 4

Vamos somar as derivadas que encontramos:
g^prime(x) + f^prime(x) = -sin x + cos x
Essa é a parte superior da nossa fração.

Passo 5

Agora, vamos calcular o denominador da fração, que é f(x) - g(x) = sin x - cos x :
Essa é a parte de baixo da fração.

Passo 6

Vamos montar a fração com as partes que calculamos:
g^prime(x) + f^prime(x)f(x) - g(x) = -sin x + cos xsin x - cos x
Podemos reescrever o numerador para facilitar:
cos x - sin xsin x - cos x

Passo 7

Observamos que o numerador é o negativo do denominador:
cos x - sin x = -(sin x - cos x)
Então, temos:
- (sin x - cos x)sin x - cos x = -1

Resposta

A expressão é igual a .

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