Determine a fração geratriz das seguintes dízimas periódicas: 1,23 785

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para transformar a dízima periódica 1,23 785 em uma fração. Vamos usar conceitos de frações geratrizes para dízimas periódicas. Precisamos entender como separar a parte inteira, a parte não periódica e a parte periódica para aplicar as fórmulas corretas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da dízima:
  • Parte inteira: 1
  • Parte não periódica: 23
  • Parte periódica: 785
A dízima periódica 1,23 785 significa que a parte “785” se repete infinitamente, ou seja, 1,23785785785…

Passo 3

Vamos transformar a dízima em uma fração. A fórmula para converter uma dízima periódica pura (sem parte não periódica) é:
x = PeríodoNúmeros 9 íú
Onde “Período” é a parte que se repete e “Números 9” corresponde à quantidade de dígitos que repetem.
No nosso caso, temos uma parte não periódica, então precisamos ajustar a fórmula.

Passo 4

Para uma dízima periódica mista (com parte não periódica), usamos a seguinte fórmula:
x = a + b10^n + c10^n(10^m - 1)
Onde:
  • é a parte inteira
  • é a parte não periódica
  • é a parte periódica
  • é o número de dígitos na parte não periódica
  • é o número de dígitos na parte periódica

Passo 5

Aplicando os valores do nosso número:
  • x = 1 + 2310^2 + 78510^2(10^3 - 1)
  • (porque “23” tem 2 dígitos)
  • (porque “785” tem 3 dígitos)
Substituindo na fórmula:

Passo 6

Agora vamos calcular cada parte:
  1. x = 1 + 23100 + 78599900
Então, temos:

Passo 7

Vamos somar as frações:
Primeiro, convertendo 1 em fração com denominador comum:
1 = 9990099900
Agora, somamos todas as frações:
x = 9990099900 + 23 times 99999900 + 78599900
Calculando:
  • x = 99900 + 22977 + 78599900 = 12366299900
Então:

Passo 8

Simplificando a fração 123662 div 299900 div 2 = 6183149950 :
Dividindo numerador e denominador por 2:
Essa fração não pode ser simplificada mais.

Resposta

A fração geratriz da dízima periódica 1,23 785 é:
6183149950

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