Determine a fração geratriz das seguintes dízimas periódicas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para transformar a dízima periódica em uma fração. Vamos usar conceitos de frações geratrizes para dízimas periódicas. Precisamos entender como separar a parte inteira, a parte não periódica e a parte periódica para aplicar as fórmulas corretas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da dízima:
  • Parte inteira: 1
  • Parte não periódica: 23
  • Parte periódica: 785
A dízima periódica significa que a parte “785” se repete infinitamente, ou seja, 1,23785785785…

Passo 3

Vamos transformar a dízima em uma fração. A fórmula para converter uma dízima periódica pura (sem parte não periódica) é:
íú
Onde “Período” é a parte que se repete e “Números 9” corresponde à quantidade de dígitos que repetem.
No nosso caso, temos uma parte não periódica, então precisamos ajustar a fórmula.

Passo 4

Para uma dízima periódica mista (com parte não periódica), usamos a seguinte fórmula:
Onde:
  • é a parte inteira
  • é a parte não periódica
  • é a parte periódica
  • é o número de dígitos na parte não periódica
  • é o número de dígitos na parte periódica

Passo 5

Aplicando os valores do nosso número:
  • (porque “23” tem 2 dígitos)
  • (porque “785” tem 3 dígitos)
Substituindo na fórmula:

Passo 6

Agora vamos calcular cada parte:
Então, temos:

Passo 7

Vamos somar as frações:
Primeiro, convertendo 1 em fração com denominador comum:
Agora, somamos todas as frações:
Calculando:
Então:

Passo 8

Simplificando a fração :
Dividindo numerador e denominador por 2:
Essa fração não pode ser simplificada mais.

Resposta

A fração geratriz da dízima periódica é:

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Responda se o número dado em cada item é racional ou irracional, justificando suas respostas. Quando for racional, determine a fração geratriz.