Determine a fração geratriz das seguintes dízimas periódicas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para transformar a dízima periódica 1,23 785 em uma fração. Vamos usar conceitos de frações geratrizes para dízimas periódicas. Precisamos entender como separar a parte inteira, a parte não periódica e a parte periódica para aplicar as fórmulas corretas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da dízima:
Parte inteira: 1
Parte não periódica: 23
Parte periódica: 785
A dízima periódica 1,23 785 significa que a parte “785” se repete infinitamente, ou seja, 1,23785785785…
Passo 3
Vamos transformar a dízima em uma fração. A fórmula para converter uma dízima periódica pura (sem parte não periódica) é:
x = PeríodoNúmeros 9 íú
Onde “Período” é a parte que se repete e “Números 9” corresponde à quantidade de dígitos que repetem.
No nosso caso, temos uma parte não periódica, então precisamos ajustar a fórmula.
Passo 4
Para uma dízima periódica mista (com parte não periódica), usamos a seguinte fórmula:
x = a + b10^n + c10^n(10^m - 1)
Onde:
é a parte inteira
é a parte não periódica
é a parte periódica
é o número de dígitos na parte não periódica
é o número de dígitos na parte periódica
Passo 5
Aplicando os valores do nosso número:
x = 1 + 2310^2 + 78510^2(10^3 - 1)
(porque “23” tem 2 dígitos)
(porque “785” tem 3 dígitos)
Substituindo na fórmula:
Passo 6
Agora vamos calcular cada parte:
x = 1 + 23100 + 78599900
Então, temos:
Passo 7
Vamos somar as frações:
Primeiro, convertendo 1 em fração com denominador comum:
1 = 9990099900
Agora, somamos todas as frações:
x = 9990099900 + 23 times 99999900 + 78599900
Calculando:
x = 99900 + 22977 + 78599900 = 12366299900
Então:
Passo 8
Simplificando a fração 123662 div 299900 div 2 = 6183149950 :