Responda se o número dado em cada item é racional ou irracional, justificando suas respostas. Quando for racional, determine a fração geratriz.
Passo 1
Vamos resolver a questão que pede para determinar se o número
é racional ou irracional. Se for racional, precisamos encontrar a fração que o representa. Para isso, vamos utilizar conceitos de números racionais e irracionais, além de saber como transformar uma dízima periódica em fração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um número racional. Um número é racional se pode ser expresso como uma fração
, onde
e
são inteiros e
. Números irracionais, por outro lado, não podem ser escritos dessa forma e têm uma representação decimal infinita e não periódica.
Passo 3
O número dado é
, que é uma dízima periódica, ou seja, possui uma parte decimal que se repete infinitamente. Isso sugere que ele pode ser um número racional, já que dízimas periódicas sempre correspondem a frações.
Passo 4
Vamos converter
em uma fração. Seja
. Para eliminar a parte periódica, multiplicamos ambos os lados por 10:
Passo 5
Agora, subtraímos a equação original de
:
Passo 6
Resolvendo para
:
Resposta
O número
é racional e pode ser representado pela fração
.