Resolva o sistema linear abaixo pelo método da decomposição LU:
[ccc 4 & -1 & -1 -1 & 4 & -1 -1 & -1 & 4 ][l x1 x2 x3 ]=[l 1 0 1 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método de decomposição LU. Basicamente, a gente tem uma matriz de coeficientes e um vetor de constantes, e o objetivo é encontrar os valores de , e que satisfazem esse sistema. Para isso, vamos decompor a matriz original em duas matrizes: uma triangular inferior e uma triangular superior . Depois, a gente resolve duas equações mais simples para encontrar as incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz A = 4 & -1 & -1 -1 & 4 & -1 -1 & -1 & 4 , b = 1 0 1 e o vetor L = 1 & 0 & 0 l21 & 1 & 0 l31 & l32 & 1 , U = u11 & u12 & u13 0 & u22 & u23 0 & 0 & u33 :
Nosso objetivo é decompor em e tal que , onde:

Passo 3

Vamos começar encontrando os elementos de u11 = 4 . O primeiro elemento u12 = -1, u13 = -1 é igual ao elemento l21 = a21u11 = -14 = -14 da matriz :
Em seguida, calculamos e :
Agora, vamos encontrar , que é dado por:

Passo 4

Com u22 = a22 - l21 cdot u12 = 4 - (-14) cdot (-1) = 4 - 14 = 154 conhecido, podemos calcular u23 = a23 - l21 cdot u13 = -1 - (-14) cdot (-1) = -1 - 14 = -54 :
l31 = a31u11 = -14 = -14
E também :
Agora, encontramos :

Passo 5

Com l32 = a32 - l31 cdot u12u22 = -1 - (-14) cdot (-1)154 = -1 - 14154 = -54154 = -13 conhecido, calculamos u33 = a33 - l31 cdot u13 - l32 cdot u23 = 4 - (-14) cdot (-1) - (-13) cdot (-54) = 4 - 14 - 512 = 4812 - 312 - 512 = 4012 = 103 :
L = 1 & 0 & 0 -14 & 1 & 0 -14 & -13 & 1 , U = 4 & -1 & -1 0 & 154 & -54 0 & 0 & 103
Finalmente, calculamos :
Agora, nossa matriz e estão completas:

Passo 6

Agora que temos 1 & 0 & 0 -14 & 1 & 0 -14 & -13 & 1 y1 y2 y3 = 1 0 1 , vamos resolver o sistema y = 1 14 43 em duas etapas:
Primeiro, resolvemos :

[


]
Resolvendo linha por linha:
Então, temos:

Passo 7

Agora, resolvemos 4 & -1 & -1 0 & 154 & -54 0 & 0 & 103 x1 x2 x3 = 1 14 43 :

[
103x3 = 43 implies x3 = 43 div 103 = 410 = 25
154x2 - 54 cdot 25 = 14 implies 154x2 - 24 = 14 implies 154x2 = 34 implies x2 = 34 div 154 = 315 = 15

4x1 - x2 - x3 = 1 implies 4x1 - 15 - 25 = 1 implies 4x1 - 35 = 1 implies 4x1 = 85 implies x1 = 25
]
Começamos pela última equação:
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituímos e na primeira equação:

Resposta

As soluções do sistema são:
x1 = 25, x2 = 15, x3 = 25

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