Resolva o sistema linear abaixo pelo método da decomposição LU:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método de decomposição LU. Basicamente, a gente tem uma matriz de coeficientes e um vetor de constantes, e o objetivo é encontrar os valores de , e que satisfazem esse sistema. Para isso, vamos decompor a matriz original em duas matrizes: uma triangular inferior e uma triangular superior . Depois, a gente resolve duas equações mais simples para encontrar as incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz e o vetor :
Nosso objetivo é decompor em e tal que , onde:

Passo 3

Vamos começar encontrando os elementos de . O primeiro elemento é igual ao elemento da matriz :
Em seguida, calculamos e :
Agora, vamos encontrar , que é dado por:

Passo 4

Com conhecido, podemos calcular :
E também :
Agora, encontramos :

Passo 5

Com conhecido, calculamos :
Finalmente, calculamos :
Agora, nossa matriz e estão completas:

Passo 6

Agora que temos , vamos resolver o sistema em duas etapas:
Primeiro, resolvemos :

[


]
Resolvendo linha por linha:
Então, temos:

Passo 7

Agora, resolvemos :

[


]
Começamos pela última equação:
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituímos e na primeira equação:

Resposta

As soluções do sistema são:

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