Resolva o sistema linear abaixo pelo método da decomposição LU:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método de decomposição LU. Basicamente, a gente tem uma matriz de coeficientes e um vetor de constantes, e o objetivo é encontrar os valores de , e que satisfazem esse sistema. Para isso, vamos decompor a matriz original em duas matrizes: uma triangular inferior e uma triangular superior . Depois, a gente resolve duas equações mais simples para encontrar as incógnitas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz e o vetor :
Nosso objetivo é decompor em e tal que , onde:
Passo 3
Vamos começar encontrando os elementos de . O primeiro elemento é igual ao elemento da matriz :
Em seguida, calculamos e :
Agora, vamos encontrar , que é dado por:
Passo 4
Com conhecido, podemos calcular :
E também :
Agora, encontramos :
Passo 5
Com conhecido, calculamos :
Finalmente, calculamos :
Agora, nossa matriz e estão completas:
Passo 6
Agora que temos , vamos resolver o sistema em duas etapas: