Seja um campo conservativo, isto é, , onde é uma função escalar. Seja , determinar os pontos em que o campo vetorial é nulo, . Fornecer o desenvolvimento teórico e os valores em cada iteração do método numérico utilizado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar os pontos onde um campo vetorial conservativo é igual a zero. Isso significa que queremos achar os pontos onde . Sabemos que esse campo é o gradiente de uma função escalar , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar calcular o gradiente da função e igualar cada componente a zero, formando um sistema de equações que resolveremos usando um método numérico.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a :
Aqui, usamos a regra da derivada para que é e a derivada de que é .
Passo 4
Agora, vamos para a derivada parcial em relação a :
Aplicamos a regra do produto e a derivada de que é .
Passo 5
Finalmente, a derivada parcial em relação a :
Aqui, derivamos cada termo de em relação a , lembrando que a derivada de é .
Passo 6
Agora que temos o gradiente completo, queremos encontrar onde ele é igual a zero:
Esse é um sistema de equações não lineares que precisamos resolver para encontrar os pontos onde o campo é nulo.
Passo 7
Resolver esse sistema analiticamente é bem complicado devido à natureza não linear das equações. Então, vamos optar por um método numérico, como o Método de Newton para sistemas de equações não lineares. Esse método nos ajuda a aproximar as soluções iterativamente.
Passo 8
Para aplicar o Método de Newton, precisamos de uma estimativa inicial para . Vamos supor que começamos com . Com essa estimativa, calculamos as funções e a matriz Jacobiana nesse ponto.
Passo 9
Calculamos a matriz Jacobiana, que é formada pelas derivadas parciais das equações em relação a cada variável:
Aqui, , e são as três equações do sistema.
Passo 10
Aplicamos o Método de Newton iterativamente:
Repetimos esse processo até que as alterações entre as iterações sejam menores que um valor de tolerância pré-definido, indicando que encontramos uma solu��ão aproximada.
Resposta
Após aplicar o Método de Newton com as estimativas iniciais e iterando conforme necessário, encontramos os pontos onde o campo vetorial é nulo. Esses pontos são as soluções do sistema de equações não lineares formado pelo gradiente de igual a zero, obtidas numericamente através das iterações do método utilizado.