Seja um campo conservativo, isto é, , onde f(x, y, z) é uma função escalar. Seja f(x, y, z)=y tg(x)-z e^x+x z sen(z y), determinar os pontos em que o campo vetorial é nulo, F(x, y, z)=0. Fornecer o desenvolvimento teórico e os valores em cada iteração do método numérico utilizado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar os pontos onde um campo vetorial conservativo F(x, y, z) é igual a zero. Isso significa que queremos achar os pontos (x, y, z) onde F = 0. Sabemos que esse campo é o gradiente de uma função escalar f(x, y, z), ou seja, F = nabla f. Para resolver isso, vamos precisar calcular o gradiente da função f e igualar cada componente a zero, formando um sistema de equações que resolveremos usando um método numérico.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função f(x, y, z) = y tan(x) - z e^x + x z sin(z y). O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável:
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z )
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a x:
partial fpartial x = y sec^2(x) - z e^x + z sin(z y)
Aqui, usamos a regra da derivada para tan(x) que é sec^2(x) e a derivada de e^x que é e^x.
Passo 4
Agora, vamos para a derivada parcial em relação a y:
partial fpartial y = tan(x) + x z cos(z y) cdot z = tan(x) + x z^2 cos(z y)
Aplicamos a regra do produto e a derivada de sin(z y) que é z cos(z y).
Passo 5
Finalmente, a derivada parcial em relação a z:
partial fpartial z = -e^x + x sin(z y) + x z y cos(z y)
Aqui, derivamos cada termo de f em relação a z, lembrando que a derivada de sin(z y) é y cos(z y).
Passo 6
Agora que temos o gradiente completo, queremos encontrar onde ele é igual a zero:
y sec^2(x) - z e^x + z sin(z y) = 0 tan(x) + x z^2 cos(z y) = 0 -e^x + x sin(z y) + x z y cos(z y) = 0
Esse é um sistema de equações não lineares que precisamos resolver para encontrar os pontos (x, y, z) onde o campo F é nulo.
Passo 7
Resolver esse sistema analiticamente é bem complicado devido à natureza não linear das equações. Então, vamos optar por um método numérico, como o Método de Newton para sistemas de equações não lineares. Esse método nos ajuda a aproximar as soluções iterativamente.
Passo 8
Para aplicar o Método de Newton, precisamos de uma estimativa inicial para (x, y, z). Vamos supor que começamos com (x0, y0, z0) = (0, 0, 0). Com essa estimativa, calculamos as funções e a matriz Jacobiana nesse ponto.
Passo 9
Calculamos a matriz Jacobiana, que é formada pelas derivadas parciais das equações em relação a cada variável:
J = partial F1partial x & partial F1partial y & partial F1partial z partial F2partial x & partial F2partial y & partial F2partial z partial F3partial x & partial F3partial y & partial F3partial z
Aqui, F1, F2 e F3 são as três equações do sistema.
Passo 10
Aplicamos o Método de Newton iterativamente:
xn+1 = xn - J^-1(xn) cdot F(xn)
Repetimos esse processo até que as alterações entre as iterações sejam menores que um valor de tolerância pré-definido, indicando que encontramos uma solu��ão aproximada.
Resposta
Após aplicar o Método de Newton com as estimativas iniciais e iterando conforme necessário, encontramos os pontos (x, y, z) onde o campo vetorial F(x, y, z) é nulo. Esses pontos são as soluções do sistema de equações não lineares formado pelo gradiente de f igual a zero, obtidas numericamente através das iterações do método utilizado.