Resolva os seguintes sistemas com e sem pivotação parcial, utilizando o método de Decomposição LU e considerando duas casas decimais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Decomposição LU, tanto com quanto sem pivotação parcial. A matéria que estamos usando aqui é Álgebra Linear, especificamente a resolução de sistemas lineares. Para isso, vamos precisar entender o que é a Decomposição LU, que basicamente divide a matriz dos coeficientes em duas matrizes: uma triangular inferior (L) e uma triangular superior (U). Também vamos precisar saber o que é pivotação parcial, que ajuda a melhorar a precisão dos cálculos durante a decomposição.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma matricial 4x1 - x2 + 3x3 + 8x4 = 43 x1 + 6x2 + 2x3 - 3x4 = 7 5x1 + 5x2 + x3 = 18 2x1 + 4x2 - 2x3 + x4 = 8 , onde A = 4 & -1 & 3 & 8 1 & 6 & 2 & -3 5 & 5 & 1 & 0 2 & 4 & -2 & 1 , b = 43 7 18 8 é a matriz dos coeficientes, é o vetor das incógnitas e é o vetor dos termos independentes. Nosso sistema é:
Então, a matriz e o vetor ficam assim:
Passo 3
Vamos começar sem usar pivotação parcial. O objetivo é decompor a matriz L = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 , U = 4 & -1 & 3 & 8 1 & 6 & 2 & -3 5 & 5 & 1 & 0 2 & 4 & -2 & 1 em e . A matriz será uma matriz triangular inferior com 1’s na diagonal, e será uma matriz triangular superior.
Primeiro, iniciamos e como a matriz identidade:
Passo 4
Agora, vamos começar a eliminar os elementos abaixo da diagonal principal na matriz .
Eliminando :
O elemento . Vamos eliminar isso usando a primeira linha.
Multiplicamos a primeira linha por e subtraímos da segunda linha.
O multiplicador é .
Atualizamos na posição com .
Eliminando :
O elemento . Usamos a primeira linha.
Multiplicador .
Atualizamos na posição .
Eliminando :
O elemento . Usamos a primeira linha.
Multiplicador .
Atualizamos na posição .
Após essas eliminações, a matriz fica com zeros abaixo da primeira coluna, e a matriz registra os multiplicadores usados.
Passo 5
Repetimos o processo para a segunda coluna.
Eliminando :
Primeiro, encontramos o multiplicador usando .
.
Atualizamos na posição .
Eliminando :
Calculamos .
Atualizamos na posição .
Agora, a matriz tem zeros abaixo da segunda coluna, e continua sendo atualizada com os novos multiplicadores.
Passo 6
Prosseguimos para a terceira coluna.
Eliminando :
Calculamos .
Atualizamos na posição .
Após esta etapa, a matriz estará completamente triangular superior, e a matriz terá todos os multiplicadores necessários.
Passo 7
Com as matrizes e obtidas, agora podemos resolver o sistema .
Primeiro, resolvemos para encontrar , usando substituição direta porque é uma matriz triangular inferior.
Depois, resolvemos para encontrar , usando substituição retroativa porque é uma matriz triangular superior.
Passo 8
Agora, vamos fazer a mesma coisa, mas dessa vez usando pivotação parcial. A pivotação parcial envolve trocar as linhas da matriz para garantir que o maior elemento (em módulo) na coluna atual seja usado como pivô. Isso ajuda a evitar erros de arredondamento e melhorar a estabilidade numérica.
Seguindo os mesmos passos de antes, mas agora verificando e trocando linhas quando necessário antes de cada eliminação.
Passo 9
Após realizar a Decomposição LU com pivotação parcial, repetimos os passos de substituição direta e retroativa para encontrar a solução do sistema.
Resposta
Após realizar a Decomposição LU nos dois casos, os sistemas resultantes têm a seguinte solução com duas casas decimais: