Resolva os seguintes sistemas com e sem pivotação parcial, utilizando o método de Eliminação de Gauss e considerando duas casas decimais.
l x1-3 x2+5 x3+6 x4=17 -8 x1+4 x2-1 x3=29 3 x1+2 x2-2 x3+7 x4=-11 x1+2 x2+5 x3-4 x4=7

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o Método de Eliminação de Gauss, tanto com quanto sem pivotação parcial. A matéria que vamos usar aqui é Álgebra Linear, especificamente a eliminação de Gauss para resolver sistemas lineares. Para isso, vamos precisar manipular as equações para eliminar uma variável de cada vez até achar os valores de todas as incógnitas e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada:
1 & -3 & 5 & 6 & | & 17 -8 & 4 & -1 & 0 & | & 29 3 & 2 & -2 & 7 & | & -11 1 & 2 & 5 & -4 & | & 7

Passo 3

Vamos começar eliminando o 8(1x1 - 3x2 + 5x3 + 6x4) = 8 times 17 Rightarrow 8x1 - 24x2 + 40x3 + 48x4 = 136 das equações abaixo da primeira. Para isso, usamos a primeira linha como base.
  • Equação 2: (-8x1 + 4x2 - x3) + (8x1 - 24x2 + 40x3 + 48x4) = 29 + 136
    Vamos multiplicar a primeira equação por 8 e somar com a segunda para eliminar -20x2 + 39x3 + 48x4 = 165 :
    -3(1x1 - 3x2 +5x3 +6x4) = -3 times 17 Rightarrow -3x1 +9x2 -15x3 -18x4 = -51
    (3x1 + 2x2 -2x3 +7x4) + (-3x1 +9x2 -15x3 -18x4) = -11 -51
    Simplificando:
    11x2 -17x3 -11x4 = -62
  • Equação 3: -1(1x1 -3x2 +5x3 +6x4) = -1 times 17 Rightarrow -x1 +3x2 -5x3 -6x4 = -17
    Multiplicamos a primeira equação por -3 e somamos com a terceira:
    (x1 +2x2 +5x3 -4x4) + (-x1 +3x2 -5x3 -6x4) = 7 -17
    5x2 -10x4 = -10
    Simplificando:
  • Equação 4:
    Multiplicamos a primeira equação por -1 e somamos com a quarta:
    Simplificando:

Passo 4

Agora, nosso sistema está reduzido para:
1x1 - 3x2 +5x3 +6x4 = 17 -20x2 +39x3 +48x4 =165 11x2 -17x3 -11x4 = -62 5x2 -10x4 = -10
Vamos focar nas últimas três equações para eliminar mais variáveis.

Passo 5

Vamos resolver a quarta equação para 5x2 -10x4 = -10 Rightarrow 5x2 = -10 +10x4 Rightarrow x2 = -2 + 2x4 :
Agora, substituímos nas outras equações.

Passo 6

Substituindo -20(-2 + 2x4) +39x3 +48x4 =165 na segunda equa�o:
40 -40x4 +39x3 +48x4 =165 Rightarrow 39x3 +8x4 =125
Simplificando:

Passo 7

Substituindo 11(-2 + 2x4) -17x3 -11x4 = -62 na terceira equação:
-22 +22x4 -17x3 -11x4 = -62 Rightarrow -17x3 +11x4 = -40
Simplificando:

Passo 8

Agora, temos duas equações com 39x3 +8x4 =125 -17x3 +11x4 =-40 e :
Vamos resolver esse sistema.

Passo 9

Multiplicamos a primeira equação por 17 e a segunda por 39 para eliminar 17(39x3 +8x4) =17 times125 Rightarrow 663x3 +136x4 =2125 :
39(-17x3 +11x4) =39 times(-40) Rightarrow -663x3 +429x4 =-1560
(663x3 -663x3) + (136x4 +429x4) =2125 -1560 Rightarrow 565x4 =565
Somando as duas equações:
x4 =1
Então:

Passo 10

Agora, substituímos x2 = -2 +2(1) =0 na equação :

Passo 11

Substituímos 39x3 +8(1) =125 Rightarrow 39x3 =117 Rightarrow x3 =3 na equação :

Passo 12

Finalmente, substituímos x1 -3(0) +5(3) +6(1) =17 Rightarrow x1 +15 +6 =17 Rightarrow x1 =-4 , , e na primeira equação para encontrar :

Resposta

A solução do sistema é:
x1 = -4, x2 =0, x3 =3, x4 =1

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