Determine o polinômio de grau 2 que melhor aproxime no intervalo .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar um polinômio de grau 2 que melhor aproxima a função no intervalo . Isso significa que queremos um polinômio que, de alguma forma, fique o mais próximo possível de nesse intervalo.
Para resolver isso, vamos usar o método dos mínimos quadrados, que basicamente busca minimizar a diferença entre as duas funções ao quadrado, ou seja, minimizar a integral de de a . Vamos precisar de cálculo integral e um pouco de álgebra para ajustar os coeficientes , e .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a diferença que queremos minimizar:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que tornam o menor possível.
Passo 3
Para minimizar , vamos derivar em relação a cada um dos coeficientes , e e igualar a zero. Isso nos dará um sistema de três equações.
Primeiro, vamos expandir a expressão dentro da integral:
Expandindo:
Mas, para simplificar, em vez de expandir tudo, vamos derivar diretamente.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e :
Essas equações garantem que seja mínimo.
Passo 5
Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais:
Para :
Para :
Para :
Passo 6
Vamos calcular cada uma dessas integrais:
Sabemos que:
Aplicando isso:
(ímpar)
(ímpar)
(ímpar)
Passo 7
Substituindo essas integrais nas equações:
Simplificando:
Simplificando:
Simplificando:
Passo 8
Agora, temos o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver Equação 1 e Equação 3 para encontrar e .
Multiplicando a Equação 1 por 15 para eliminar os denominadores:
çã
Multiplicando a Equação 3 por 3:
çã
Agora, temos:
Vamos resolver isso.
Passo 9
Vamos resolver o sistema:
Multiplicamos a Equação 3’ por 3:
çã
Subtraímos a Equação 1’ da Equação 4:
Agora, substituímos na Equação 3’:
Passo 10
Com e , e já sabemos que , nosso polinômio fica:
Resposta
O polinômio de grau 2 que melhor aproxima no intervalo é: