Determine o polinômio de grau 2 que melhor aproxime f(x)=x^3 no intervalo [-1,1].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar um polinômio de grau 2 que melhor aproxima a função no intervalo . Isso significa que queremos um polinômio que, de alguma forma, fique o mais próximo possível de nesse intervalo.
Para resolver isso, vamos usar o método dos mínimos quadrados, que basicamente busca minimizar a diferença entre as duas funções ao quadrado, ou seja, minimizar a integral de de a . Vamos precisar de cálculo integral e um pouco de álgebra para ajustar os coeficientes , e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a diferença que queremos minimizar:
E = integral-1^1 ( x^3 - (a x^2 + b x + c) )^2 dx
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que tornam o menor possível.

Passo 3

Para minimizar E = integral-1^1 ( x^3 - a x^2 - b x - c )^2 dx , vamos derivar E = integral-1^1 ( x^6 - 2a x^5 - 2b x^4 - 2c x^3 + a^2 x^4 + 2ab x^3 + 2ac x^2 + b^2 x^2 + 2bc x + c^2 ) dx em relação a cada um dos coeficientes , e e igualar a zero. Isso nos dará um sistema de três equações.
Primeiro, vamos expandir a expressão dentro da integral:
Expandindo:
Mas, para simplificar, em vez de expandir tudo, vamos derivar diretamente.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de partial Epartial a = -2 integral-1^1 x^2 (x^3 - a x^2 - b x - c) dx = 0 em relação a partial Epartial b = -2 integral-1^1 x (x^3 - a x^2 - b x - c) dx = 0 , partial Epartial c = -2 integral-1^1 (x^3 - a x^2 - b x - c) dx = 0 e :
Essas equações garantem que seja mínimo.

Passo 5

Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais:
  1. Para integral-1^1 x^5 dx - a integral-1^1 x^4 dx - b integral-1^1 x^3 dx - c integral-1^1 x^2 dx = 0 :
integral-1^1 x^4 dx - a integral-1^1 x^3 dx - b integral-1^1 x^2 dx - c integral-1^1 x dx = 0
  1. Para integral-1^1 x^3 dx - a integral-1^1 x^2 dx - b integral-1^1 x dx - c integral-1^1 dx = 0 :
  1. Para :

Passo 6

Vamos calcular cada uma dessas integrais:
Sabemos que:
integral-1^1 x^n dx = 0, & se n for ímpar 2n+1, & se n for par í
Aplicando isso:
  1. (ímpar)
  2. (ímpar)
  3. (ímpar)

Passo 7

Substituindo essas integrais nas equações:
  1. -25a - 23c = 0 Rightarrow 25a + 23c = 0 (Equação 1)
Simplificando:
25 - 23b = 0 Rightarrow 23b = 25 Rightarrow b = 25 cdot 32 = 35 (Equação 2) çã
  1. -23a - 2c = 0 Rightarrow 23a + 2c = 0 (Equação 3)
Simplificando:
çã
Simplificando:
çã

Passo 8

Agora, temos o seguinte sistema de equações:
25a + 23c = 0 (Equação 1) b = 35 (Equação 2) 23a + 2c = 0 (Equação 3) çãçãçã
Vamos resolver Equação 1 e Equação 3 para encontrar 6a + 10c = 0 (Equação 1') e 2a + 6c = 0 (Equação 3') .
Multiplicando a Equação 1 por 15 para eliminar os denominadores:
6a + 10c = 0 2a + 6c = 0 çã
Multiplicando a Equação 3 por 3:
çã
Agora, temos:
Vamos resolver isso.

Passo 9

Vamos resolver o sistema:
Multiplicamos a Equação 3’ por 3:
6a + 18c = 0 (Equação 4) çã
Subtraímos a Equação 1’ da Equação 4:
(6a + 18c) - (6a + 10c) = 0 - 0 8c = 0 c = 0
Agora, substituímos 2a + 6(0) = 0 2a = 0 a = 0 na Equação 3’:

Passo 10

Com P(x) = 0 cdot x^2 + 35x + 0 = 35x e , e já sabemos que , nosso polinômio fica:

Resposta

O polinômio de grau 2 que melhor aproxima P(x) = 35x no intervalo é:

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