Determine o polinômio de grau 2 que melhor aproxime no intervalo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar um polinômio de grau 2 que melhor aproxima a função no intervalo . Isso significa que queremos um polinômio que, de alguma forma, fique o mais próximo possível de nesse intervalo.
Para resolver isso, vamos usar o método dos mínimos quadrados, que basicamente busca minimizar a diferença entre as duas funções ao quadrado, ou seja, minimizar a integral de de a . Vamos precisar de cálculo integral e um pouco de álgebra para ajustar os coeficientes , e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a diferença que queremos minimizar:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que tornam o menor possível.

Passo 3

Para minimizar , vamos derivar em relação a cada um dos coeficientes , e e igualar a zero. Isso nos dará um sistema de três equações.
Primeiro, vamos expandir a expressão dentro da integral:
Expandindo:
Mas, para simplificar, em vez de expandir tudo, vamos derivar diretamente.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e :
Essas equações garantem que seja mínimo.

Passo 5

Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 6

Vamos calcular cada uma dessas integrais:
Sabemos que:
í
Aplicando isso:
  1. (ímpar)
  2. (ímpar)
  3. (ímpar)

Passo 7

Substituindo essas integrais nas equações:
Simplificando:
çã
Simplificando:
çã
Simplificando:
çã

Passo 8

Agora, temos o seguinte sistema de equações:
çãçãçã
Vamos resolver Equação 1 e Equação 3 para encontrar e .
Multiplicando a Equação 1 por 15 para eliminar os denominadores:
çã
Multiplicando a Equação 3 por 3:
çã
Agora, temos:
Vamos resolver isso.

Passo 9

Vamos resolver o sistema:
Multiplicamos a Equação 3’ por 3:
çã
Subtraímos a Equação 1’ da Equação 4:
Agora, substituímos na Equação 3’:

Passo 10

Com e , e já sabemos que , nosso polinômio fica:

Resposta

O polinômio de grau 2 que melhor aproxima no intervalo é:

Exercícios relacionados

Considere a tabela:
-9 -6 -4 -2 -1 2 4
30 10 9 6 5 4 4
Por qual das funções ou você aproximaria a função ? Justifique sua resposta.
Determine pelo método dos quadrados mínimos uma aproximação para no intervalo por polinômios ortogonais de grau 2.
Determine a reta que melhor aproxime a função no intervalo .
Determine a reta que melhor aproxime a função no intervalo .