Determine os pontos críticos de f, onde:
f(x, y)=x y8+1x+1y, x neq 0, y neq 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função , onde e .
Conteúdo da matéria: Para achar os pontos críticos de uma função de duas variáveis, precisamos calcular as derivadas parciais em relação a e , e depois igualá-las a zero.
O que vamos precisar: Saber calcular derivadas parciais e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de fx = partial fpartial x = y8 - 1x^2 em relação a .

Passo 3

Agora, calculamos a derivada parcial de fy = partial fpartial y = x8 - 1y^2 em relação a .

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero:
y8 - 1x^2 = 0
x8 - 1y^2 = 0

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. Da primeira equação:
y8 = 1x^2
y = 8x^2
  1. Substituímos x8 = 1( 8x^2 )^2 na segunda equação:
x8 = x^464

Passo 6

Agora, resolvemos para x8 = x^464 :
8x = x^4
Multiplicando ambos os lados por 64 para eliminar os denominadores:
x^4 - 8x = 0
x(x^3 - 8) = 0
x^3 = 8
Então, x = 2 ou . Como , temos:

Passo 7

Com y = 82^2 = 84 = 2 , substituímos na equação de :

Resposta

O ponto crítico da função é .

Exercícios relacionados

Seja f(x, y)=2-x^2-y^2.
Faça o gráfico de f, plano tangente e reta normal.
Sejam z=f(x, y)=x^3 y^2, x(t)=e^-t e y(t)=t sen t. Calcule d zd t
Determine os pontos críticos de f, onde:
f(x, y)=2(x^2+y^2) e^-(x^2+y^2).
A função f(x, y)=2 x^2 y^2+3 cos x é diferenciável em R^2 ?