Determine os pontos críticos de f, onde:
f(x, y)=2(x^2+y^2) e^-(x^2+y^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar os pontos críticos da função . Ponto crítico é onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero ou não existem. Para isso, vamos precisar calcular essas derivadas parciais e resolver onde elas são iguais a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada parcial de fx = partial fpartial x = 2 cdot partialpartial x(x^2 + y^2) cdot e^-(x^2+y^2) + 2(x^2 + y^2) cdot partialpartial x(e^-(x^2+y^2)) em relação a partialpartial x(x^2 + y^2) = 2x , que chamamos de partialpartial x(e^-(x^2+y^2)) = e^-(x^2+y^2) cdot (-2x) . Lembre-se que fx = 2 cdot 2x cdot e^-(x^2+y^2) + 2(x^2 + y^2) cdot (-2x) e^-(x^2+y^2) é tratada como uma constante quando derivamos em relação a fx = 4x e^-(x^2+y^2) - 4x(x^2 + y^2) e^-(x^2+y^2) .
A função é fx = 4x e^-(x^2+y^2) (1 - (x^2 + y^2)) .
Usamos a regra do produto para derivar:
Calculando as derivadas:
Então:
Simplificando:
Fatorando :

Passo 3

Agora, vamos fazer o mesmo para a derivada parcial em relação a fy = partial fpartial y = 2 cdot partialpartial y(x^2 + y^2) cdot e^-(x^2+y^2) + 2(x^2 + y^2) cdot partialpartial y(e^-(x^2+y^2)) , que chamamos de partialpartial y(x^2 + y^2) = 2y .
Usando a mesma lógica:
partialpartial y(e^-(x^2+y^2)) = e^-(x^2+y^2) cdot (-2y)
Calculando as derivadas:
fy = 2 cdot 2y cdot e^-(x^2+y^2) + 2(x^2 + y^2) cdot (-2y) e^-(x^2+y^2)
fy = 4y e^-(x^2+y^2) - 4y(x^2 + y^2) e^-(x^2+y^2)
Então:
fy = 4y e^-(x^2+y^2) (1 - (x^2 + y^2))
Simplificando:
Fatorando :

Passo 4

Agora que temos fx = 4x e^-(x^2+y^2) (1 - (x^2 + y^2)) = 0 e fy = 4y e^-(x^2+y^2) (1 - (x^2 + y^2)) = 0 , vamos encontrar onde ambas são iguais a zero para identificar os pontos críticos.
Temos:
Vamos analisar cada fator:
  1. e
    • nunca é zero, então:
Então, os pontos críticos são onde:
  • e , ou

Passo 5

Vamos reunir as soluções:
  1. e : Isso nos dá o ponto .
  2. : Essa é a equação de um círculo de raio 1 centrado na origem. Todos os pontos neste círculo são pontos críticos.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • O ponto
  • Todos os pontos que satisfazem , ou seja, os pontos no círculo de raio 1 centrado na origem.

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Determine os pontos críticos de f, onde:
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Seja f(x, y)=2-x^2-y^2. f têm pontos extremos e valores extremos?