Determine os pontos críticos de
, onde:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar os pontos críticos da função
. Ponto crítico é onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero ou não existem. Para isso, vamos precisar calcular essas derivadas parciais e resolver onde elas são iguais a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada parcial de
em relação a
, que chamamos de
. Lembre-se que
é tratada como uma constante quando derivamos em relação a
.
A função é
.
Usamos a regra do produto para derivar:
Calculando as derivadas:
Então:
Simplificando:
Fatorando
:
Passo 3
Agora, vamos fazer o mesmo para a derivada parcial em relação a
, que chamamos de
.
Usando a mesma lógica:
Calculando as derivadas:
Então:
Simplificando:
Fatorando
:
Passo 4
Agora que temos
e
, vamos encontrar onde ambas são iguais a zero para identificar os pontos críticos.
Temos:
Vamos analisar cada fator:
-
e -
nunca é zero, então: -
⇒ -
⇒
-
-
-
Então, os pontos críticos são onde:
-
e , ou -
Passo 5
Vamos reunir as soluções:
-
e : Isso nos dá o ponto . -
: Essa é a equação de um círculo de raio 1 centrado na origem. Todos os pontos neste círculo são pontos críticos.
Resposta
Os pontos críticos da função
são:
- O ponto
- Todos os pontos que satisfazem
, ou seja, os pontos no círculo de raio 1 centrado na origem.
Exercícios relacionados
Determine os pontos críticos de
, onde:
.
Seja
.
Faça o gráfico de , plano tangente e reta normal.
Faça o gráfico de
A função
é diferenciável em
?
Seja
.
têm pontos extremos e valores extremos?