Seja f(x, y)=2-x^2-y^2.
Faça o gráfico de f, plano tangente e reta normal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para fazermos o gráfico da função , além de encontrar o plano tangente e a reta normal a essa superfície. Isso está dentro da matéria de Cálculo Multivariável, mais especificamente envolvendo gráficas de superfícies, derivadas parciais e geometria do espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender como visualizar essa função no espaço 3D, calcular derivadas parciais para achar o plano tangente e, a partir daí, determinar a reta normal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o gráfico da função . Essa é uma função quadrática em duas variáveis, e seu gráfico é uma superfície chamada paraboloide hiperbólico. Ela se parece com uma espécie de “tigela” invertida, já que os termos e têm sinais negativos.

Passo 3

Agora, para encontrar o plano tangente à superfície em um ponto específico, precisamos escolher um ponto f(1, 1) = 2 - (1)^2 - (1)^2 = 2 - 1 - 1 = 0 onde vamos calcular o plano. Suponha que escolhamos o ponto . Primeiro, calculamos a altura da superfície nesse ponto:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 4

Para encontrar o plano tangente, usamos as derivadas parciais da função. As derivadas parciais de fx = partial fpartial x = -2x em relação a fy = partial fpartial y = -2y e fx(1, 1) = -2(1) = -2 são:
fy(1, 1) = -2(1) = -2
No ponto , temos:

Passo 5

O plano tangente pode ser encontrado pela equação:
z = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0)
Substituindo os valores que achamos:
z = 0 + (-2)(x - 1) + (-2)(y - 1)
z = -2x + 2 -2y + 2
z = -2x - 2y + 4
Então, a equação do plano tangente é .

Passo 6

Para encontrar a reta normal à superfície no ponto de tangência, usamos o vetor normal ao plano tangente. Esse vetor é dado pelas derivadas parciais, ou seja, n = lang<= -2, -2, -1 rang<= . No nosso caso:
x = 1 - 2t
A equação paramétrica da reta normal que passa pelo ponto y = 1 - 2t é:
z = 0 - t
Onde é o parâmetro.

Resposta

O gráfico de z = -2x - 2y + 4 é uma parábola invertida. O plano tangente à superfície no ponto x = 1 - 2t é dado por:
y = 1 - 2t
E a reta normal à superfície nesse ponto tem equações paramétricas:
z = -t

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Seja f(x, y)=x^2-yy^2+1. Calcule partial fpartial x(0,0) e partial fpartial y(0,0).
Determine os pontos críticos de f, onde:
f(x, y)=x y8+1x+1y, x neq 0, y neq 0.
Determine os pontos críticos de f, onde:
f(x, y)=2(x^2+y^2) e^-(x^2+y^2).