Seja
.
Faça o gráfico de
, plano tangente e reta normal.
Faça o gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para fazermos o gráfico da função
, além de encontrar o plano tangente e a reta normal a essa superfície. Isso está dentro da matéria de Cálculo Multivariável, mais especificamente envolvendo gráficas de superfícies, derivadas parciais e geometria do espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender como visualizar essa função no espaço 3D, calcular derivadas parciais para achar o plano tangente e, a partir daí, determinar a reta normal.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o gráfico da função
. Essa é uma função quadrática em duas variáveis, e seu gráfico é uma superfície chamada paraboloide hiperbólico. Ela se parece com uma espécie de “tigela” invertida, já que os termos
e
têm sinais negativos.
Passo 3
Agora, para encontrar o plano tangente à superfície em um ponto específico, precisamos escolher um ponto
onde vamos calcular o plano. Suponha que escolhamos o ponto
. Primeiro, calculamos a altura da superfície nesse ponto:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 4
Para encontrar o plano tangente, usamos as derivadas parciais da função. As derivadas parciais de
em relação a
e
são:
No ponto
, temos:
Passo 5
O plano tangente pode ser encontrado pela equação:
Substituindo os valores que achamos:
Então, a equação do plano tangente é
.
Passo 6
Para encontrar a reta normal à superfície no ponto de tangência, usamos o vetor normal ao plano tangente. Esse vetor é dado pelas derivadas parciais, ou seja,
. No nosso caso:
A equação paramétrica da reta normal que passa pelo ponto
é:
Onde
é o parâmetro.
Resposta
O gráfico de
é uma parábola invertida. O plano tangente à superfície no ponto
é dado por:
E a reta normal à superfície nesse ponto tem equações paramétricas:
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Sejam
. Calcule
Seja
. Calcule
e
.
Determine os pontos críticos de
, onde:
.
Determine os pontos críticos de
, onde:
.