A função
é diferenciável em
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é: A função
é diferenciável em
?
Aqui, estamos lidando com cálculo multivariável, mais especificamente com a diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos verificar se a função possui derivadas parciais contínuas em todo
. Se sim, então a função é diferenciável nesse domínio.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se essas derivadas parciais são contínuas em todo
. Vamos analisar cada uma delas.
-
: -
é um polinômio em e , que é contínuo em todo . -
é uma função trigonométrica contínua para todo .
Portanto,é contínua em . -
-
: -
também é um polinômio em e , contínuo em todo .
Portanto,é contínua em . -
Passo 4
Como ambas as derivadas parciais de
são contínuas em todo
, podemos concluir que a função
é diferenciável em
. Isso porque a existência de derivadas parciais contínuas em um ponto implica que a função é diferenciável nesse ponto, e como isso vale para todo ponto em
, então a função é diferenciável em todo o espaço.
Resposta
Sim, a função
é diferenciável em
.
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, onde:
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