A função f(x, y)=2 x^2 y^2+3 cos x é diferenciável em R^2 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é: A função é diferenciável em ?
Aqui, estamos lidando com cálculo multivariável, mais especificamente com a diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos verificar se a função possui derivadas parciais contínuas em todo . Se sim, então a função é diferenciável nesse domínio.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de partial fpartial x = partialpartial x ( 2x^2y^2 + 3cos x ) = 4xy^2 - 3sin x em relação a partial fpartial y = partialpartial y ( 2x^2y^2 + 3cos x ) = 4x^2y e .
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, precisamos verificar se essas derivadas parciais são contínuas em todo . Vamos analisar cada uma delas.
  1. :
    • é um polinômio em e , que é contínuo em todo .
    • é uma função trigonométrica contínua para todo .
    Portanto, é contínua em .
  2. :
    • também é um polinômio em e , contínuo em todo .
    Portanto, é contínua em .

Passo 4

Como ambas as derivadas parciais de são contínuas em todo , podemos concluir que a função é diferenciável em . Isso porque a existência de derivadas parciais contínuas em um ponto implica que a função é diferenciável nesse ponto, e como isso vale para todo ponto em , então a função é diferenciável em todo o espaço.

Resposta

Sim, a função é diferenciável em .

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