Determine os possíveis valores de alpha para que os sistemas abaixo possuam uma única solução:
2 x1-3 x2 & =alpha -6 x1+9 x2 & =5

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para encontrar os valores de 2x1 - 3x2 = alpha -6x1 + 9x2 = 5 que fazem com que o sistema de equações abaixo tenha uma única solução:
Aqui, estamos lidando com sistemas lineares, e para que haja uma única solução, é preciso que as equações sejam linearmente independentes, ou seja, que elas não sejam múltiplas uma da outra. Vamos precisar verificar os coeficientes das variáveis e usar determinantes para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os coeficientes das variáveis nas duas equações:
  • Na primeira equação: -3 times (2x1 - 3x2) = -6x1 + 9x2
  • Na segunda equação: -6x1 + 9x2 = -3alpha
Perceba que a segunda equação é múltipla da primeira. De fato, se multiplicarmos a primeira equação por , temos:
Isso nos leva a:

Passo 3

Agora, comparemos essa equação resultante com a segunda equação original do sistema:
-6x1 + 9x2 = 5
Para que ambas as equações sejam compatíveis, os lados direitos devem ser iguais. Ou seja:
-3alpha = 5

Passo 4

Vamos resolver a equação alpha = 5-3 = -53 para encontrar o valor de :

Passo 5

No entanto, quando , as duas equações são múltiplas uma da outra, o que significa que o sistema não tem uma única solução, mas sim infinitas soluções. Para que o sistema tenha uma única solução, as equações precisam ser independentes, o que não ocorre nesse caso porque o determinante da matriz dos coeficientes é zero.

Resposta

Não existe nenhum valor de que faça o sistema ter uma única solução.

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