Localize a primeira raiz não trivial de f(x)=sen(x)-x^2, onde x está em radianos. Use a estratégia gráfica e o método da bisseção. Faça os cálculos até que o erro seja menor que varepsilon<0,01.

Passo 1

Vamos resolver o exercício de encontrar a primeira raiz não trivial da função usando uma estratégia gráfica e o método da bisseção. Isso envolve entender onde a função cruza o eixo e aplicar um método numérico para aproximar a raiz com um erro menor que .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar um intervalo onde a função muda de sinal, ou seja, onde f(0,5) = sin(0,5) - (0,5)^2 approx 0,4794 - 0,25 = 0,2294 > 0 é positivo e f(1) = sin(1) - 1^2 approx 0,8415 - 1 = -0,1585 < 0 é negativo. Vamos testar alguns valores:
  • Para :
  • Para :
Como e , sabemos que há uma raiz entre 0,5 e 1.

Passo 3

Aplicamos o método da bisseção no intervalo c = 0,5 + 12 = 0,75 .
  1. Calculamos o ponto médio:
    f(0,75) = sin(0,75) - (0,75)^2 approx 0,6816 - 0,5625 = 0,1191 > 0
  2. Avaliamos :
  3. Como e , a raiz está entre 0,75 e 1.
Erro atual:

Passo 4

Continuamos a bisse��ão no intervalo c = 0,75 + 12 = 0,875 .
  1. Ponto médio:
    f(0,875) = sin(0,875) - (0,875)^2 approx 0,7674 - 0,7656 = 0,0018 > 0
  2. Avaliamos :
  3. Como e , a raiz está entre 0,875 e 1.
Erro atual:

Passo 5

Aplicamos novamente a bisseção no intervalo c = 0,875 + 12 = 0,9375 .
  1. Ponto médio:
    f(0,9375) = sin(0,9375) - (0,9375)^2 approx 0,8065 - 0,8789 = -0,0724 < 0
  2. Avaliamos :
  3. Como e , a raiz está entre 0,875 e 0,9375.
Erro atual:

Passo 6

Continuamos a bisseção no intervalo c = 0,875 + 0,93752 = 0,90625 .
  1. Ponto médio:
    f(0,90625) = sin(0,90625) - (0,90625)^2 approx 0,7855 - 0,8213 = -0,0358 < 0
  2. Avaliamos :
  3. Como e , a raiz está entre 0,875 e 0,90625.
Erro atual:

Passo 7

Aplicamos novamente a bisseção no intervalo c = 0,875 + 0,906252 = 0,890625 .
  1. Ponto médio:
    f(0,890625) = sin(0,890625) - (0,890625)^2 approx 0,7794 - 0,7932 = -0,0138 < 0
  2. Avaliamos :
  3. Como e , a raiz está entre 0,875 e 0,890625.
Erro atual:

Passo 8

Finalizamos a bisseção no intervalo c = 0,875 + 0,8906252 = 0,8828125 .
  1. Ponto médio:
    f(0,8828125) = sin(0,8828125) - (0,8828125)^2 approx 0,7721 - 0,7798 = -0,0077 < 0
  2. Avaliamos :
  3. Como e , a raiz está entre 0,875 e 0,8828125.
Erro atual:

Resposta

A primeira raiz não trivial de é aproximadamente .

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