Encontre uma aproximação barxi para uma raiz xi da função f(x)=x^5-1000 pelo Método de Newton-Raphson, tomando x0=5 como aproximação inicial e precisão varepsilon=10^-3 (Utilize pelo menos 4 casas decimais depois da vírgula (ponto)).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma aproximação barxi de uma raiz da função f(x) = x^5 - 1000 usando o Método de Newton-Raphson. Estamos trabalhando com o conteúdo de métodos numéricos, especificamente o Método de Newton-Raphson, que é uma técnica para encontrar raízes de funções. Para isso, vamos precisar da derivada da função f(x) e de uma aproximação inicial, que no caso é x0 = 5. Também queremos que a nossa aproximação tenha uma precisão de varepsilon = 10^-3.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar a fórmula do Método de Newton-Raphson:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Essa fórmula nos ajuda a encontrar uma melhor aproximação da raiz a cada iteração, usando a derivada da função.

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função f(x) = x^5 - 1000:
f'(x) = 5x^4
Essa derivada é necessária para aplicar a fórmula do Método de Newton-Raphson.

Passo 4

Agora, começamos com a aproximação inicial x0 = 5. Vamos calcular f(x0) e f'(x0):
f(5) = 5^5 - 1000 = 3125 - 1000 = 2125
f'(5) = 5 times 5^4 = 5 times 625 = 3125

Passo 5

Aplicamos a fórmula do Método de Newton-Raphson para encontrar x1:
x1 = 5 - 21253125 = 5 - 0.68 = 4.32
Agora, nossa nova aproximação é x1 = 4.32.

Passo 6

Verificamos a precisão da aproximação calculando |x1 - x0| = |4.32 - 5| = 0.68. Como 0.68 > 10^-3, precisamos continuar o processo.

Passo 7

Calculamos f(x1) e f'(x1):
f(4.32) = (4.32)^5 - 1000 approx 1007.8327 - 1000 = 7.8327
f'(4.32) = 5 times (4.32)^4 approx 5 times 348.6784 = 1743.392

Passo 8

Aplicamos novamente a fórmula para encontrar x2:
x2 = 4.32 - 7.83271743.392 approx 4.32 - 0.00449 = 4.3155
Agora, nossa aproximação é x2 = 4.3155.

Passo 9

Verificamos a nova precisão: |x2 - x1| = |4.3155 - 4.32| = 0.0045. Ainda é maior que 10^-3, então continuamos.

Passo 10

Calculamos f(x2) e f'(x2):
f(4.3155) = (4.3155)^5 - 1000 approx 1000.6831 - 1000 = 0.6831
f'(4.3155) = 5 times (4.3155)^4 approx 5 times 348.9123 = 1744.5615

Passo 11

Aplicamos a fórmula para encontrar x3:
x3 = 4.3155 - 0.68311744.5615 approx 4.3155 - 0.000392 = 4.315108
Nossa nova aproximação é x3 = 4.315108.

Passo 12

Verificamos a precisão: |x3 - x2| = |4.315108 - 4.3155| approx 0.000392. Como 0.000392 < 10^-3, atingimos a precisão desejada.

Resposta

Aproximação da raiz barxi approx 4.3151

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