Encontre uma aproximação para uma raiz da função pelo Método de Newton-Raphson, tomando como aproximação inicial e precisão (Utilize pelo menos 4 casas decimais depois da vírgula (ponto)).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma aproximação de uma raiz da função usando o Método de Newton-Raphson. Estamos trabalhando com o conteúdo de métodos numéricos, especificamente o Método de Newton-Raphson, que é uma técnica para encontrar raízes de funções. Para isso, vamos precisar da derivada da função e de uma aproximação inicial, que no caso é . Também queremos que a nossa aproximação tenha uma precisão de .

Passo 2

Primeiro, vamos recordar a fórmula do Método de Newton-Raphson:
Essa fórmula nos ajuda a encontrar uma melhor aproximação da raiz a cada iteração, usando a derivada da função.

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função :
Essa derivada é necessária para aplicar a fórmula do Método de Newton-Raphson.

Passo 4

Agora, começamos com a aproximação inicial . Vamos calcular e :

Passo 5

Aplicamos a fórmula do Método de Newton-Raphson para encontrar :
Agora, nossa nova aproximação é .

Passo 6

Verificamos a precisão da aproximação calculando . Como , precisamos continuar o processo.

Passo 7

Calculamos e :

Passo 8

Aplicamos novamente a fórmula para encontrar :
Agora, nossa aproximação é .

Passo 9

Verificamos a nova precisão: . Ainda é maior que , então continuamos.

Passo 10

Calculamos e :

Passo 11

Aplicamos a fórmula para encontrar :
Nossa nova aproximação é .

Passo 12

Verificamos a precisão: . Como , atingimos a precisão desejada.

Resposta

Aproximação da raiz

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