Encontre uma aproximação
para uma raiz
da função
pelo Método de Newton-Raphson, tomando
como aproximação inicial e precisão
(Utilize pelo menos 4 casas decimais depois da vírgula (ponto)).
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma aproximação
de uma raiz da função
usando o Método de Newton-Raphson. Estamos trabalhando com o conteúdo de métodos numéricos, especificamente o Método de Newton-Raphson, que é uma técnica para encontrar raízes de funções. Para isso, vamos precisar da derivada da função
e de uma aproximação inicial, que no caso é
. Também queremos que a nossa aproximação tenha uma precisão de
.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar a fórmula do Método de Newton-Raphson:
Essa fórmula nos ajuda a encontrar uma melhor aproximação da raiz a cada iteração, usando a derivada da função.
Passo 3
Vamos calcular a derivada da função
:
Essa derivada é necessária para aplicar a fórmula do Método de Newton-Raphson.
Passo 4
Agora, começamos com a aproximação inicial
. Vamos calcular
e
:
Passo 5
Aplicamos a fórmula do Método de Newton-Raphson para encontrar
:
Agora, nossa nova aproximação é
.
Passo 6
Verificamos a precisão da aproximação calculando
. Como
, precisamos continuar o processo.
Passo 7
Calculamos
e
:
Passo 8
Aplicamos novamente a fórmula para encontrar
:
Agora, nossa aproximação é
.
Passo 9
Verificamos a nova precisão:
. Ainda é maior que
, então continuamos.
Passo 10
Calculamos
e
:
Passo 11
Aplicamos a fórmula para encontrar
:
Nossa nova aproximação é
.
Passo 12
Verificamos a precisão:
. Como
, atingimos a precisão desejada.
Resposta
Aproximação da raiz