Resolva, pelo método de Gauss, os sistemas de equações lineares algébricas a seguir, usando o método de arredondamento em todos os cálculos. Aponte uma solução que atenda a precisão varepsilon <= 10^-2:
rx1+2 x2-1,8 x3=-1,64 -2 x1+x2-x3=-3,10 x1+3 x2-2 x3=-0,90

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss, que faz parte da álgebra linear. Esse método ajuda a encontrar as soluções das incógnitas organizando as equações em uma matriz e fazendo operações para simplificar. Para isso, vamos precisar manipular as linhas da matriz para chegar a uma forma onde possamos descobrir os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada:
1 & 2 & -1,8 & | & -1,64 -2 & 1 & -1 & | & -3,10 1 & 3 & -2 & | & -0,90

Passo 3

Agora, queremos transformar essa matriz em uma forma triangular superior, ou seja, ter zeros abaixo dos elementos principais (os da diagonal). Começamos pelo primeiro pivô, que é o elemento L2 = L2 + 2 times L1 na posição (1,1).
Para zerar o elemento abaixo do pivô na segunda linha, fazemos:
-2 + 2 times 1 = 0
Calculando:
1 + 2 times 2 = 5
-1 + 2 times (-1,8) = -1 - 3,6 = -4,6
-3,10 + 2 times (-1,64) = -3,10 - 3,28 = -6,38
1 & 2 & -1,8 & | & -1,64 0 & 5 & -4,6 & | & -6,38 1 & 3 & -2 & | & -0,90
A matriz fica:

Passo 4

Agora, vamos zerar o elemento abaixo do pivô na terceira linha. Fazemos:
L3 = L3 - L1
Calculando:
1 - 1 = 0
3 - 2 = 1
-2 - (-1,8) = -2 + 1,8 = -0,2
-0,90 - (-1,64) = -0,90 + 1,64 = 0,74
A matriz atualizada:
1 & 2 & -1,8 & | & -1,64 0 & 5 & -4,6 & | & -6,38 0 & 1 & -0,2 & | & 0,74

Passo 5

Agora, vamos trabalhar com o segundo pivô, que é o L3 = L3 - (15) times L2 na posição (2,2). Primeiro, vamos simplificar a terceira linha para zerar o elemento abaixo desse pivô.
Fazemos:
0 - 0 = 0
Calculando:
1 - (15) times 5 = 1 - 1 = 0
-0,2 - (15) times (-4,6) = -0,2 + 0,92 = 0,72
0,74 - (15) times (-6,38) = 0,74 + 1,276 = 2,016
1 & 2 & -1,8 & | & -1,64 0 & 5 & -4,6 & | & -6,38 0 & 0 & 0,72 & | & 2,016
A matriz agora está na forma triangular superior:

Passo 6

Agora, vamos resolver as equações de baixo para cima.
Primeiro, da terceira linha:
0,72x3 = 2,016 Rightarrow x3 = 2,0160,72 = 2,8
Agora, da segunda linha:
5x2 - 4,6x3 = -6,38 5x2 - 4,6 times 2,8 = -6,38 5x2 - 12,88 = -6,38 5x2 = 6,50 Rightarrow x2 = 6,505 = 1,30
Por fim, da primeira linha:
x1 + 2x2 - 1,8x3 = -1,64 x1 + 2 times 1,30 - 1,8 times 2,8 = -1,64 x1 + 2,60 - 5,04 = -1,64 x1 - 2,44 = -1,64 x1 = -1,64 + 2,44 = 0,80

Resposta

A solução do sistema é:
x1 = 0,80 x2 = 1,30 x3 = 2,80

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