Determine a raiz positiva, de f(x)=x^2+x-6=0 pelo método de ponto fixo ( Iteração Linear) com precisão epsilon=10^-3 ou três iterações e x0=1,5

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação usando o método de ponto fixo (ou Iteração Linear). Esse método ajuda a encontrar raízes de equações transformando-as em uma forma que permita iterar valores até chegar perto da solução desejada. Para isso, precisamos rearranjar a equação de forma que esteja isolado de um lado. Vamos trabalhar com a precisão , ou realizar até três iterações começando com .

Passo 2

Primeiro, precisamos reescrever a equação x = 6 - xx de uma forma que tenhamos x = raiz6 - x igual a alguma função de . Uma forma comum é:
Mas para facilitar a iteração, vamos reorganizar de maneira diferente. Podemos expressar como:
Essa forma é útil porque agora temos do lado esquerdo e uma função de do lado direito, o que nos permite aplicar o método de ponto fixo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método de ponto fixo. Começamos com um valor inicial xn+1 = g(xn) = raiz6 - xn e iteramos a função para encontrar etc.
A fórmula geral para cada iteração é:

Passo 4

Vamos realizar as três iterações:
Iteração 1:
x1 = raiz6 - x0 = raiz6 - 1,5 = raiz4,5 approx 2,1213
Iteração 2:
x2 = raiz6 - x1 = raiz6 - 2,1213 = raiz3,8787 approx 1,9694
Iteração 3:
x3 = raiz6 - x2 = raiz6 - 1,9694 = raiz4,0306 approx 2,0076

Resposta

Após três iterações, a raiz positiva aproximada da equação pelo método de ponto fixo é aproximadamente .

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