Determine a raiz positiva, de
com precisão
. Roteiro:
a) Obter o número de raízes;
b) Separação da raiz ( intervalo );
c) Determinação do
(valor inicial
)
d) Faça a tabela
e Erro ;
a) Obter o número de raízes;
b) Separação da raiz ( intervalo );
c) Determinação do
d) Faça a tabela
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação
para encontrar a raiz positiva com uma precisão de
. Vamos precisar usar conceitos de análise de funções, como número de raízes, intervalo onde a raiz está localizada, e métodos numéricos para aproximar a raiz. Além disso, vamos aplicar a derivada da função para determinar um bom ponto inicial para a nossa estimativa.
Passo 2
a) Obter o número de raízes
Primeiro, vamos descobrir quantas raízes a equação
possui. Para isso, observamos o comportamento da função.
- Quando
tende a , tende a . - Quando
tende a , tende a .
Além disso, calculamos a derivada primeira:
E a derivada segunda:
Analisando essas derivadas, vemos que
tem mínimo e máximo locais, mas considerando o comportamento geral da função, concluímos que há exatamente uma raiz real positiva.
Passo 3
b) Separação da raiz (intervalo)
Agora, precisamos encontrar um intervalo onde a raiz está localizada. Vamos calcular
em alguns valores:
-
(negativo) -
(positivo)
Como
é negativo e
é positivo, pelo Teorema de Bolzano, existe pelo menos uma raiz no intervalo
.
Passo 4
c) Determinação do
(valor inicial)
Vamos escolher um valor inicial
dentro do intervalo
onde
.
Calculando
, para
,
.
Escolhemos
:
Então,
satisfaz a condição.
Passo 5
d) Faça a tabela
e Erro
Vamos usar o Método de Newton-Raphson para aproximar a raiz. A fórmula de iteração é:
Vamos iterar até que o erro seja menor que
.
|
|
|
Erro | ||
---|---|---|---|---|---|
0 | 2.00000 | 2.00000 | - | ||
1 |
|
|
( | 1.83333 - 2 | = 0.16667 ) |
2 |
|
|
( | 1.84849 - 1.83333 | = 0.01516 ) |
3 |
|
|
( | 1.84828 - 1.84849 | = 0.00021 ) |
4 |
|
|
( | 1.84830 - 1.84828 | = 0.00002 ) |
Resposta
A raiz positiva de
com precisão
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Determine a raiz positiva de
, até obter uma precisão
ou três iterações, pelo método da bisseção.
Roteiro:
a) Obter o número de raízes;
b) Localização da raiz;
c) Escolha o intervalo (Refinar);
d) Número de iterações;
e) Faça a tabela: e Erro ;
Estimativa do número de iteraçőes
Dada uma precisão e um intervalo
é possível estimar, a priori, o número de iterações que serão efetuadas pelo método da bisseção até que se obtenha
.
número de iteraçōes (
), necessário para que
pode ser obtido pela expressão
Roteiro:
a) Obter o número de raízes;
b) Localização da raiz;
c) Escolha o intervalo (Refinar);
d) Número de iterações;
e) Faça a tabela:
Estimativa do número de iteraçőes
Dada uma precisão
Trabalhando com quatro dígitos significativos, resolva os sistemas lineares a seguir (ou detecte que não há solução). Use pivoteamento parcial. Estabeleça um critério para decidir se números pequenos em lugares importantes são considerados como zero ou não. Confira a solução obtida:
b)
b)
Determine a raiz positiva, de
pelo método de ponto fixo ( Iteração Linear) com precisão
ou três iterações e
Faça a conversão do número
da base binário para decimal.