Determine a raiz positiva, de f(x)=x^3-x-4=0 com precisão epsilon=10^-5. Roteiro:
a) Obter o número de raízes;
b) Separação da raiz ( intervalo );
c) Determinação do x0 (valor inicial f(x0) * f^prime prime(x0)>0 )
d) Faça a tabela k, xk, f(xk) e Erro ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação para encontrar a raiz positiva com uma precisão de . Vamos precisar usar conceitos de análise de funções, como número de raízes, intervalo onde a raiz está localizada, e métodos numéricos para aproximar a raiz. Além disso, vamos aplicar a derivada da função para determinar um bom ponto inicial para a nossa estimativa.

Passo 2

a) Obter o número de raízes
Primeiro, vamos descobrir quantas raízes a equação f'(x) = 3x^2 - 1 possui. Para isso, observamos o comportamento da função.
  • Quando f''(x) = 6x tende a , tende a .
  • Quando tende a , tende a .
Além disso, calculamos a derivada primeira:
E a derivada segunda:
Analisando essas derivadas, vemos que tem mínimo e máximo locais, mas considerando o comportamento geral da função, concluímos que há exatamente uma raiz real positiva.

Passo 3

b) Separação da raiz (intervalo)
Agora, precisamos encontrar um intervalo onde a raiz está localizada. Vamos calcular em alguns valores:
  • (negativo)
  • (positivo)
Como é negativo e é positivo, pelo Teorema de Bolzano, existe pelo menos uma raiz no intervalo .

Passo 4

c) Determinação do (valor inicial)
Vamos escolher um valor inicial dentro do intervalo onde .
Calculando , para , .
Escolhemos :
Então, satisfaz a condição.

Passo 5

d) Faça a tabela xk+1 = xk - f(xk)f'(xk) e Erro
Vamos usar o Método de Newton-Raphson para aproximar a raiz. A fórmula de iteração é:
Vamos iterar até que o erro seja menor que .
Erro
0 2.00000 2.00000 -
1 ( 1.83333 - 2 = 0.16667 )
2 ( 1.84849 - 1.83333 = 0.01516 )
3 ( 1.84828 - 1.84849 = 0.00021 )
4 ( 1.84830 - 1.84828 = 0.00002 )

Resposta

A raiz positiva de com precisão é aproximadamente .

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