Determine a raiz positiva de
, até obter uma precisão
ou três iterações, pelo método da bisseção.
Roteiro:
a) Obter o número de raízes;
b) Localização da raiz;
c) Escolha o intervalo (Refinar);
d) Número de iterações;
e) Faça a tabela:
e Erro ;
Estimativa do número de iteraçőes
Dada uma precisão
e um intervalo
é possível estimar, a priori, o número de iterações que serão efetuadas pelo método da bisseção até que se obtenha
.
número de iteraçōes (
), necessário para que
pode ser obtido pela expressão
Roteiro:
a) Obter o número de raízes;
b) Localização da raiz;
c) Escolha o intervalo (Refinar);
d) Número de iterações;
e) Faça a tabela:
Estimativa do número de iteraçőes
Dada uma precisão
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a raiz positiva da função
usando o método da bisseção, com uma precisão de
ou até três iterações. Para isso, vamos precisar entender o que é o método da bisseção, como localizar a raiz e aplicar as etapas passo a passo.
Passo 2
a) Obter o número de raízes
Primeiro, vamos descobrir quantas raízes a função
tem. Como é um polinômio de grau 3, ele pode ter até 3 raízes reais. Mas, observando que
cresce de forma contínua para
positivos e negativos, e
é uma constante, percebemos que há exatamente uma raiz real positiva.
Passo 3
b) Localização da raiz
Para aplicar o método da bisseção, precisamos saber onde está a raiz. Vamos calcular
para alguns valores:
-
(negativo) -
(positivo)
Como
é negativo e
é positivo, pela propriedade do teorema do valor intermediário, sabemos que existe uma raiz entre 3 e 4.
Passo 4
c) Escolha do intervalo (Refinar)
Vamos começar com o intervalo
. O método da bisseção vai dividir esse intervalo ao meio repetidamente para aproximar a raiz.
Passo 5
d) Número de iterações
Vamos estimar quantas iterações precisamos para alcançar a precisão desejada. A fórmula dada é:
Substituindo os valores:
Então, precisamos de no mínimo 14 iterações para garantir que
. Porém, como o enunciado permite até três iterações, vamos seguir com essas três.
Passo 6
e) Tabela das iterações
Vamos fazer uma tabela com as três primeiras iterações do método da bisseção.
|
|
|
|
Erro |
---|---|---|---|---|
0 | 3.0000 | 4.0000 | 3.5000 | - |
1 | 3.5000 | 4.0000 | 3.7500 | 0.2500 |
2 | 3.7500 | 4.0000 | 3.8750 | 0.1250 |
3 | 3.8750 | 4.0000 | 3.9375 | 0.0625 |
Explicação:
-
Iteração 0: Começamos com
e . Calculamos . Avaliando (positivo), então a raiz está entre 3 e 3.5. -
Iteração 1: Atualizamos o intervalo para
. Calculamos . (positivo), então a raiz está entre 3 e 3.25. -
Iteração 2: Atualizamos para
. Calculamos . (positivo), então a raiz está entre 3 e 3.125. -
Iteração 3: Atualizamos para
. Calculamos . (negativo), então a raiz está entre 3.0625 e 3.125.
Resposta
Após três iterações do método da bisseção, a aproximação da raiz positiva de
é
, com um erro de aproximadamente
.
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Trabalhando com quatro dígitos significativos, resolva os sistemas lineares a seguir (ou detecte que não há solução). Use pivoteamento parcial. Estabeleça um critério para decidir se números pequenos em lugares importantes são considerados como zero ou não. Confira a solução obtida:
b)
b)
Utilizando o sistema de ponto flutuante normalizado
, calcule as operações:
e
, onde:
e) Calcule o erro relativo entre os resultados exatos (antes da incorporação ao sistema flutuante) e os resultados aproximados.
e) Calcule o erro relativo entre os resultados exatos (antes da incorporação ao sistema flutuante) e os resultados aproximados.
Determine a raiz positiva, de
com precisão
. Roteiro:
a) Obter o número de raízes;
b) Separação da raiz ( intervalo );
c) Determinação do (valor inicial
)
d) Faça a tabela e Erro ;
a) Obter o número de raízes;
b) Separação da raiz ( intervalo );
c) Determinação do
d) Faça a tabela
Determine a raiz positiva, de
pelo método de ponto fixo ( Iteração Linear) com precisão
ou três iterações e