Determine a raiz positiva de P(x)=x^3-30=0, até obter uma precisão epsilon=10^-4 ou três iterações, pelo método da bisseção.
Roteiro:
a) Obter o número de raízes;
b) Localização da raiz;
c) Escolha o intervalo (Refinar);
d) Número de iterações;
e) Faça a tabela: k, ak, bk xk e Erro ;
Estimativa do número de iteraçőes
Dada uma precisão in e um intervalo [a, b] é possível estimar, a priori, o número de iterações que serão efetuadas pelo método da bisseção até que se obtenha b-a. O número de iteraçōes ( k ), necessário para que bk-ak pode ser obtido pela expressão k>[log (b0-a0)-log (epsilon)] / log (2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a raiz positiva da função usando o método da bisseção, com uma precisão de ou até três iterações. Para isso, vamos precisar entender o que é o método da bisseção, como localizar a raiz e aplicar as etapas passo a passo.

Passo 2

a) Obter o número de raízes
Primeiro, vamos descobrir quantas raízes a função tem. Como é um polinômio de grau 3, ele pode ter até 3 raízes reais. Mas, observando que cresce de forma contínua para positivos e negativos, e é uma constante, percebemos que há exatamente uma raiz real positiva.

Passo 3

b) Localização da raiz
Para aplicar o método da bisseção, precisamos saber onde está a raiz. Vamos calcular para alguns valores:
  • (negativo)
  • (positivo)
Como é negativo e é positivo, pela propriedade do teorema do valor intermediário, sabemos que existe uma raiz entre 3 e 4.

Passo 4

c) Escolha do intervalo (Refinar)
Vamos começar com o intervalo . O método da bisseção vai dividir esse intervalo ao meio repetidamente para aproximar a raiz.

Passo 5

d) Número de iterações
Vamos estimar quantas iterações precisamos para alcançar a precisão desejada. A fórmula dada é:
k > log(b0 - a0) - log(epsilon)log(2)
Substituindo os valores:
k > log(4 - 3) - log(10^-4)log(2) = log(1) - (-4)log(2) = 0 + 40.3010 approx 13.29
Então, precisamos de no mínimo 14 iterações para garantir que . Porém, como o enunciado permite até três iterações, vamos seguir com essas três.

Passo 6

e) Tabela das iterações
Vamos fazer uma tabela com as três primeiras iterações do método da bisseção.
Erro
0 3.0000 4.0000 3.5000 -
1 3.5000 4.0000 3.7500 0.2500
2 3.7500 4.0000 3.8750 0.1250
3 3.8750 4.0000 3.9375 0.0625
Explicação:
  • Iteração 0: Começamos com e . Calculamos . Avaliando (positivo), então a raiz está entre 3 e 3.5.
  • Iteração 1: Atualizamos o intervalo para . Calculamos . (positivo), então a raiz está entre 3 e 3.25.
  • Iteração 2: Atualizamos para . Calculamos . (positivo), então a raiz está entre 3 e 3.125.
  • Iteração 3: Atualizamos para . Calculamos . (negativo), então a raiz está entre 3.0625 e 3.125.

Resposta

Após três iterações do método da bisseção, a aproximação da raiz positiva de é , com um erro de aproximadamente .

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