Trabalhando com quatro dígitos significativos, resolva os sistemas lineares a seguir (ou detecte que não há solução). Use pivoteamento parcial. Estabeleça um critério para decidir se números pequenos em lugares importantes são considerados como zero ou não. Confira a solução obtida:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com duas equações:
Vamos resolver esse sistema usando pivoteamento parcial e trabalhar com quatro dígitos significativos. Além disso, precisaremos definir um critério para dizer quando números pequenos podem ser considerados como zero.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar o sistema na forma matricial
, onde:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial. O pivoteamento parcial ajuda a minimizar erros numéricos trocando as linhas para que o maior coeficiente absoluto fique no pivô (elemento principal da coluna atual).
Passo 4
Olhemos para a primeira coluna da matriz
:
O maior valor absoluto aqui é 2.24. Então, vamos trocar a primeira linha pela segunda para usar 2.24 como nosso pivô.
Após a troca, o sistema fica:
Passo 5
Agora, vamos eliminar o termo
da segunda equação. Para isso, calculamos o fator multiplicador:
Multiplicamos a primeira equação por
e subtraímos da segunda:
Fazendo as contas:
Para
:
Para
:
Para o lado direito:
Então, a segunda equação fica:
Passo 6
Chegamos a uma equação que diz
. Isso é uma contradição, pois 0 nunca será igual a -0.2. Portanto, o sistema não tem solução.
Passo 7
Antes de finalizar, vamos falar sobre o critério de considerar números pequenos como zero. Como estamos trabalhando com quatro dígitos significativos, um valor como -0.2 não é pequeno o suficiente para ser ignorado. Portanto, a contradição
é válida e confirma que não há solução para o sistema.
Resposta
O sistema não possui solução.
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Utilizando o sistema de ponto flutuante normalizado
, calcule as operações:
e
, onde:
e) Calcule o erro relativo entre os resultados exatos (antes da incorporação ao sistema flutuante) e os resultados aproximados.
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e
, onde:
b) e
b)
Determine a raiz positiva de
, até obter uma precisão
ou três iterações, pelo método da bisseção.
Roteiro:
a) Obter o número de raízes;
b) Localização da raiz;
c) Escolha o intervalo (Refinar);
d) Número de iterações;
e) Faça a tabela: e Erro ;
Estimativa do número de iteraçőes
Dada uma precisão e um intervalo
é possível estimar, a priori, o número de iterações que serão efetuadas pelo método da bisseção até que se obtenha
.
número de iteraçōes (
), necessário para que
pode ser obtido pela expressão
Roteiro:
a) Obter o número de raízes;
b) Localização da raiz;
c) Escolha o intervalo (Refinar);
d) Número de iterações;
e) Faça a tabela:
Estimativa do número de iteraçőes
Dada uma precisão
Determine a raiz positiva, de
com precisão
. Roteiro:
a) Obter o número de raízes;
b) Separação da raiz ( intervalo );
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)
d) Faça a tabela e Erro ;
a) Obter o número de raízes;
b) Separação da raiz ( intervalo );
c) Determinação do
d) Faça a tabela