Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância .
(d) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar as raízes da função usando o Método de Newton-Raphson com uma tolerância de . Isso significa que queremos encontrar o valor de que faz com uma precisão bem alta. Para isso, vamos usar o Método de Newton-Raphson, que é uma técnica numérica para encontrar aproximações sucessivas das raízes de uma função.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o Método de Newton-Raphson. Ele começa com um palpite inicial para a raiz e, iterativamente, melhora esse palpite usando a fórmula:
Aqui, é a derivada da função . Nosso objetivo é repetir esse processo até que a diferença entre duas iterações sucessivas seja menor ou igual à tolerância .

Passo 3

Vamos identificar nossa função e sua derivada. Temos:
Agora, calculamos a derivada de :

Passo 4

Precisamos escolher um palpite inicial . Olhando para a função , sabemos que está entre -1 e 1, enquanto cresce rapidamente. Vamos tentar como ponto de partida.

Passo 5

Aplicamos a fórmula de Newton-Raphson para encontrar :
Calculando e :
Então,

Passo 6

Agora, calculamos usando :
Então,

Passo 7

Agora, calculamos usando :
Então,

Passo 8

Calculamos usando :
Então,

Passo 9

Vamos continuar até que a diferença entre e seja menor ou igual a . Repetindo os cálculos:
Diferença: (> ), continuamos.

Passo 10

Diferença: (> ), ainda não atingimos a tolerância.

Passo 11

Diferença: (> ), ainda não.

Passo 12

Diferença: (> ), quase lá!

Passo 13

Diferença: ( ), atingimos a tolerância!

Resposta

A raiz da função encontrada pelo Método de Newton-Raphson com tolerância é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância .
© .
Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância .
(b) .
Localize graficamente as raízes das equações:
(a)
Isolar pelo menos um zero das equações utilizando uma tabela de valores para :
(a)