Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância
.
(d)
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar as raízes da função
usando o Método de Newton-Raphson com uma tolerância de
. Isso significa que queremos encontrar o valor de
que faz
com uma precisão bem alta. Para isso, vamos usar o Método de Newton-Raphson, que é uma técnica numérica para encontrar aproximações sucessivas das raízes de uma função.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é o Método de Newton-Raphson. Ele começa com um palpite inicial para a raiz e, iterativamente, melhora esse palpite usando a fórmula:
Aqui,
é a derivada da função
. Nosso objetivo é repetir esse processo até que a diferença entre duas iterações sucessivas seja menor ou igual à tolerância
.
Passo 3
Vamos identificar nossa função e sua derivada. Temos:
Agora, calculamos a derivada de
:
Passo 4
Precisamos escolher um palpite inicial
. Olhando para a função
, sabemos que
está entre -1 e 1, enquanto
cresce rapidamente. Vamos tentar
como ponto de partida.
Passo 5
Aplicamos a fórmula de Newton-Raphson para encontrar
:
Calculando
e
:
Então,
Passo 6
Agora, calculamos
usando
:
Então,
Passo 7
Agora, calculamos
usando
:
Então,
Passo 8
Calculamos
usando
:
Então,
Passo 9
Vamos continuar até que a diferença entre
e
seja menor ou igual a
. Repetindo os cálculos:
Diferença:
(>
), continuamos.
Passo 10
Diferença:
(>
), ainda não atingimos a tolerância.
Passo 11
Diferença:
(>
), ainda não.
Passo 12
Diferença:
(>
), quase lá!
Passo 13
Diferença:
(
), atingimos a tolerância!
Resposta
A raiz da função
encontrada pelo Método de Newton-Raphson com tolerância
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância
.
© .
©
Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância
.
(b) .
(b)
Localize graficamente as raízes das equações:
(a)
(a)
Isolar pelo menos um zero das equações utilizando uma tabela de valores para
:
(a)
(a)