Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância varepsilon <= 1 cdot 10^-4.
(d) f4(x)=sen(x)-x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar as raízes da função usando o Método de Newton-Raphson com uma tolerância de . Isso significa que queremos encontrar o valor de que faz com uma precisão bem alta. Para isso, vamos usar o Método de Newton-Raphson, que é uma técnica numérica para encontrar aproximações sucessivas das raízes de uma função.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o Método de Newton-Raphson. Ele começa com um palpite inicial para a raiz e, iterativamente, melhora esse palpite usando a fórmula:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Aqui, é a derivada da função . Nosso objetivo é repetir esse processo até que a diferença entre duas iterações sucessivas seja menor ou igual à tolerância .

Passo 3

Vamos identificar nossa função e sua derivada. Temos:
f4(x) = sin(x) - x^2
Agora, calculamos a derivada de f4'(x) = cos(x) - 2x :

Passo 4

Precisamos escolher um palpite inicial . Olhando para a função , sabemos que está entre -1 e 1, enquanto cresce rapidamente. Vamos tentar como ponto de partida.

Passo 5

Aplicamos a fórmula de Newton-Raphson para encontrar x1 = x0 - f4(x0)f4'(x0) :
f4(0.5) = sin(0.5) - (0.5)^2 approx 0.4794 - 0.25 = 0.2294
Calculando f4'(0.5) = cos(0.5) - 2 times 0.5 approx 0.8776 - 1 = -0.1224 e x1 = 0.5 - 0.2294-0.1224 approx 0.5 + 1.876 = 2.376 :
Então,

Passo 6

Agora, calculamos f4(2.376) = sin(2.376) - (2.376)^2 approx 0.6957 - 5.645 = -4.9493 usando f4'(2.376) = cos(2.376) - 2 times 2.376 approx -0.7310 - 4.752 = -5.483 :
x2 = 2.376 - -4.9493-5.483 approx 2.376 - 0.902 = 1.474
Então,

Passo 7

Agora, calculamos f4(1.474) = sin(1.474) - (1.474)^2 approx 0.9965 - 2.172 = -1.1755 usando f4'(1.474) = cos(1.474) - 2 times 1.474 approx 0.1002 - 2.948 = -2.8478 :
x3 = 1.474 - -1.1755-2.8478 approx 1.474 - 0.413 = 1.061
Então,

Passo 8

Calculamos f4(1.061) = sin(1.061) - (1.061)^2 approx 0.8744 - 1.126 = -0.2516 usando f4'(1.061) = cos(1.061) - 2 times 1.061 approx 0.4879 - 2.122 = -1.6341 :
x4 = 1.061 - -0.2516-1.6341 approx 1.061 - 0.154 = 0.907
Então,

Passo 9

Vamos continuar até que a diferença entre f4(0.907) approx sin(0.907) - (0.907)^2 approx 0.7891 - 0.8227 = -0.0336 e f4'(0.907) approx cos(0.907) - 2 times 0.907 approx 0.6159 - 1.814 = -1.1981 seja menor ou igual a x5 = 0.907 - -0.0336-1.1981 approx 0.907 - 0.0281 = 0.8789 . Repetindo os cálculos:
Diferença: (> ), continuamos.

Passo 10

f4(0.8789) approx sin(0.8789) - (0.8789)^2 approx 0.7703 - 0.7726 = -0.0023
f4'(0.8789) approx cos(0.8789) - 2 times 0.8789 approx 0.6391 - 1.7578 = -1.1187
x6 = 0.8789 - -0.0023-1.1187 approx 0.8789 - 0.0021 = 0.8768
Diferença: (> ), ainda não atingimos a tolerância.

Passo 11

f4(0.8768) approx sin(0.8768) - (0.8768)^2 approx 0.7671 - 0.7685 = -0.0014
f4'(0.8768) approx cos(0.8768) - 2 times 0.8768 approx 0.6402 - 1.7536 = -1.1134
x7 = 0.8768 - -0.0014-1.1134 approx 0.8768 - 0.0013 = 0.8755
Diferença: (> ), ainda não.

Passo 12

f4(0.8755) approx sin(0.8755) - (0.8755)^2 approx 0.7660 - 0.7668 = -0.0008
f4'(0.8755) approx cos(0.8755) - 2 times 0.8755 approx 0.6410 - 1.7510 = -1.1100
x8 = 0.8755 - -0.0008-1.1100 approx 0.8755 - 0.0007 = 0.8748
Diferença: (> ), quase lá!

Passo 13

f4(0.8748) approx sin(0.8748) - (0.8748)^2 approx 0.7653 - 0.7652 = 0.0001
f4'(0.8748) approx cos(0.8748) - 2 times 0.8748 approx 0.6415 - 1.7496 = -1.1081
x9 = 0.8748 - 0.0001-1.1081 approx 0.8748 + 0.0001 = 0.8749
Diferença: ( ), atingimos a tolerância!

Resposta

A raiz da função encontrada pelo Método de Newton-Raphson com tolerância é aproximadamente .

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