Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar as raízes da função
usando o Método de Newton-Raphson, com uma tolerância de
. Isso significa que queremos achar o valor de
que faz
, com uma precisão bem legal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Método de Newton-Raphson. É um método numérico pra encontrar raízes de funções. A ideia é começar com um palpite inicial para
, e então refinar esse palpite usando a fórmula:
Aqui,
é a derivada da função
. Então, a gente precisa calcular a derivada de
.
Passo 3
Calculando a derivada de
:
A derivada é:
Passo 4
Agora, precisamos escolher um palpite inicial
. Podemos fazer isso observando onde a função cruza o eixo
. Vamos testar alguns valores:
- Para
: - Para
: - Para
:
Vemos que a raiz está entre
e
. Vamos escolher
como nosso palpite inicial.
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:
Calculando
e
:
Então,
Passo 6
Vamos repetir o processo com
:
Então,
Passo 7
Continuando com
:
Então,
Passo 8
Agora, calculamos a diferença entre
e
:
A diferença ainda não atingiu a tolerância, então precisamos de mais uma iteração.
Passo 9
Vamos com
:
Como
, encontramos a raiz com a precisão desejada.
Resposta
A raiz da função
usando o Método de Newton-Raphson com tolerância
é aproximadamente
.
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