Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância .
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar as raízes da função usando o Método de Newton-Raphson, com uma tolerância de . Isso significa que queremos achar o valor de que faz , com uma precisão bem legal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Método de Newton-Raphson. É um método numérico pra encontrar raízes de funções. A ideia é começar com um palpite inicial para , e então refinar esse palpite usando a fórmula:
Aqui, é a derivada da função . Então, a gente precisa calcular a derivada de .

Passo 3

Calculando a derivada de :
A derivada é:

Passo 4

Agora, precisamos escolher um palpite inicial . Podemos fazer isso observando onde a função cruza o eixo . Vamos testar alguns valores:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Vemos que a raiz está entre e . Vamos escolher como nosso palpite inicial.

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:
Calculando e :
Então,

Passo 6

Vamos repetir o processo com :
Então,

Passo 7

Continuando com :
Então,

Passo 8

Agora, calculamos a diferença entre e :
A diferença ainda não atingiu a tolerância, então precisamos de mais uma iteração.

Passo 9

Vamos com :
Como , encontramos a raiz com a precisão desejada.

Resposta

A raiz da função usando o Método de Newton-Raphson com tolerância é aproximadamente .

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