Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância varepsilon <= 1 cdot 10^-4.
f3(x)=e^x / 2-x^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar as raízes da função f3(x) = e^x / 2 - x^3 usando o Método de Newton-Raphson, com uma tolerância de varepsilon <= 1 cdot 10^-4. Isso significa que queremos achar o valor de x que faz f3(x) = 0, com uma precisão bem legal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Método de Newton-Raphson. É um método numérico pra encontrar raízes de funções. A ideia é começar com um palpite inicial para x, e então refinar esse palpite usando a fórmula:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Aqui, f'(x) é a derivada da função f(x). Então, a gente precisa calcular a derivada de f3(x).

Passo 3

Calculando a derivada de f3(x):
f3(x) = e^x / 2 - x^3
A derivada é:
f3'(x) = 12 e^x / 2 - 3x^2

Passo 4

Agora, precisamos escolher um palpite inicial x0. Podemos fazer isso observando onde a função cruza o eixo x. Vamos testar alguns valores:
  • Para x = 0: f3(0) = e^0 - 0 = 1 > 0
  • Para x = 1: f3(1) = e^0.5 - 1 approx 1.6487 - 1 = 0.6487 > 0
  • Para x = 2: f3(2) = e^1 - 8 approx 2.7183 - 8 = -5.2817 < 0
Vemos que a raiz está entre x = 1 e x = 2. Vamos escolher x0 = 1.5 como nosso palpite inicial.

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:
x1 = x0 - f3(x0)f3'(x0)
Calculando f3(1.5) e f3'(1.5):
f3(1.5) = e^0.75 - (1.5)^3 approx 2.1170 - 3.375 = -1.2580
f3'(1.5) = 12 e^0.75 - 3(1.5)^2 approx 1.0585 - 6.75 = -5.6915
Então,
x1 = 1.5 - -1.2580-5.6915 approx 1.5 - 0.2210 = 1.2790

Passo 6

Vamos repetir o processo com x1 = 1.2790:
f3(1.2790) = e^1.2790 / 2 - (1.2790)^3 approx e^0.6395 - 2.094 approx 1.895 - 2.094 = -0.199
f3'(1.2790) = 12 e^0.6395 - 3(1.2790)^2 approx 0.9475 - 4.889 = -3.9415
Então,
x2 = 1.2790 - -0.199-3.9415 approx 1.2790 - 0.0505 = 1.2285

Passo 7

Continuando com x2 = 1.2285:
f3(1.2285) = e^0.6143 - (1.2285)^3 approx 1.848 - 1.849 = -0.001
f3'(1.2285) = 12 e^0.6143 - 3(1.2285)^2 approx 0.924 - 4.526 = -3.602
Então,
x3 = 1.2285 - -0.001-3.602 approx 1.2285 - 0.0003 = 1.2282

Passo 8

Agora, calculamos a diferença entre x3 e x2:
|1.2282 - 1.2285| = 0.0003 <= 1 cdot 10^-4
A diferença ainda não atingiu a tolerância, então precisamos de mais uma iteração.

Passo 9

Vamos com x3 = 1.2282:
f3(1.2282) = e^0.6141 - (1.2282)^3 approx 1.8478 - 1.8478 = 0
Como f3(x3) = 0, encontramos a raiz com a precisão desejada.

Resposta

A raiz da função f3(x) = e^x / 2 - x^3 usando o Método de Newton-Raphson com tolerância varepsilon <= 1 cdot 10^-4 é aproximadamente x approx 1.2282.

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