Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância .
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as raízes da função usando o Método de Newton-Raphson, com uma tolerância de . Isso significa que vamos procurar os valores de onde com uma precisão bem certinha. Para isso, precisamos entender um pouco sobre o Método de Newton-Raphson, que é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função que queremos analisar:
E para aplicar o Método de Newton-Raphson, precisamos da derivada dessa função. Vamos calcular :
A derivada nos ajuda a entender a inclinação da função em qualquer ponto , o que é essencial para o método.

Passo 3

Agora, vamos escolher um valor inicial para começar as iterações. Normalmente, escolhemos um ponto onde a função cruza o eixo ou próximo disso. Vamos tentar como nosso ponto de partida.

Passo 4

Aplicamos a fórmula do Método de Newton-Raphson:
Vamos calcular :
Então,

Passo 5

Vamos repetir o processo com :
Então,

Passo 6

Vamos verificar se a diferença entre e está dentro da tolerância:
Como , precisamos iterar mais uma vez.

Passo 7

Agora, com :
Então,

Passo 8

Verificando a diferença:
Ainda não atingimos a tolerância, então vamos mais uma vez.

Passo 9

Com :
Então,

Passo 10

Agora, a diferença:
Ainda acima de , vamos mais uma iteração.

Passo 11

Com :
Então,

Passo 12

Verificando a diferença final:
Agora, , então atingimos a tolerância desejada.

Resposta

A raiz da função encontrada pelo Método de Newton-Raphson com tolerância é aproximadamente .

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