Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância
.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as raízes da função
usando o Método de Newton-Raphson, com uma tolerância de
. Isso significa que vamos procurar os valores de
onde
com uma precisão bem certinha. Para isso, precisamos entender um pouco sobre o Método de Newton-Raphson, que é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função que queremos analisar:
E para aplicar o Método de Newton-Raphson, precisamos da derivada dessa função. Vamos calcular
:
A derivada nos ajuda a entender a inclinação da função em qualquer ponto
, o que é essencial para o método.
Passo 3
Agora, vamos escolher um valor inicial
para começar as iterações. Normalmente, escolhemos um ponto onde a função cruza o eixo
ou próximo disso. Vamos tentar
como nosso ponto de partida.
Passo 4
Aplicamos a fórmula do Método de Newton-Raphson:
Vamos calcular
:
Então,
Passo 5
Vamos repetir o processo com
:
Então,
Passo 6
Vamos verificar se a diferença entre
e
está dentro da tolerância:
Como
, precisamos iterar mais uma vez.
Passo 7
Agora, com
:
Então,
Passo 8
Verificando a diferença:
Ainda não atingimos a tolerância, então vamos mais uma vez.
Passo 9
Com
:
Então,
Passo 10
Agora, a diferença:
Ainda acima de
, vamos mais uma iteração.
Passo 11
Com
:
Então,
Passo 12
Verificando a diferença final:
Agora,
, então atingimos a tolerância desejada.
Resposta
A raiz da função
encontrada pelo Método de Newton-Raphson com tolerância
é aproximadamente
.
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Utilizando oito dígitos significativos e as fórmulas de Newton-Cotes do exercício anterior, calcule uma aproximação para
, e o erro relativo cometido, com
c)
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