Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância varepsilon <= 1 cdot 10^-4.
f1(x)=raizx-e^-x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as raízes da função usando o Método de Newton-Raphson, com uma tolerância de . Isso significa que vamos procurar os valores de onde com uma precisão bem certinha. Para isso, precisamos entender um pouco sobre o Método de Newton-Raphson, que é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função que queremos analisar:
f(x) = raizx - e^-x
E para aplicar o Método de Newton-Raphson, precisamos da derivada dessa função. Vamos calcular f'(x) = 12raizx + e^-x :
A derivada nos ajuda a entender a inclinação da função em qualquer ponto , o que é essencial para o método.

Passo 3

Agora, vamos escolher um valor inicial para começar as iterações. Normalmente, escolhemos um ponto onde a função cruza o eixo ou próximo disso. Vamos tentar como nosso ponto de partida.

Passo 4

Aplicamos a fórmula do Método de Newton-Raphson:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Vamos calcular f(0.5) = raiz0.5 - e^-0.5 approx 0.7071 - 0.6065 = 0.1006 :
f'(0.5) = 12raiz0.5 + e^-0.5 approx 0.7071 + 0.6065 = 1.3136
x1 = 0.5 - 0.10061.3136 approx 0.5 - 0.0766 = 0.4234
Então,

Passo 5

Vamos repetir o processo com f(0.4234) = raiz0.4234 - e^-0.4234 approx 0.6507 - 0.6543 = -0.0036 :
f'(0.4234) = 12raiz0.4234 + e^-0.4234 approx 1.1797 + 0.6543 = 1.8340
x2 = 0.4234 - -0.00361.8340 approx 0.4234 + 0.0020 = 0.4254
Então,

Passo 6

Vamos verificar se a diferença entre |x2 - x1| = |0.4254 - 0.4234| = 0.0020 e está dentro da tolerância:
Como , precisamos iterar mais uma vez.

Passo 7

Agora, com f(0.4254) = raiz0.4254 - e^-0.4254 approx 0.6522 - 0.6541 = -0.0019 :
f'(0.4254) = 12raiz0.4254 + e^-0.4254 approx 1.1725 + 0.6541 = 1.8266
x3 = 0.4254 - -0.00191.8266 approx 0.4254 + 0.0010 = 0.4264
Então,

Passo 8

Verificando a diferença:
|x3 - x2| = |0.4264 - 0.4254| = 0.0010
Ainda não atingimos a tolerância, então vamos mais uma vez.

Passo 9

Com f(0.4264) = raiz0.4264 - e^-0.4264 approx 0.6532 - 0.6538 = -0.0006 :
f'(0.4264) = 12raiz0.4264 + e^-0.4264 approx 1.1619 + 0.6538 = 1.8157
x4 = 0.4264 - -0.00061.8157 approx 0.4264 + 0.0003 = 0.4267
Então,

Passo 10

Agora, a diferença:
|x4 - x3| = |0.4267 - 0.4264| = 0.0003
Ainda acima de , vamos mais uma iteração.

Passo 11

Com f(0.4267) = raiz0.4267 - e^-0.4267 approx 0.6536 - 0.6535 = 0.0001 :
f'(0.4267) = 12raiz0.4267 + e^-0.4267 approx 1.1607 + 0.6535 = 1.8142
x5 = 0.4267 - 0.00011.8142 approx 0.4267 - 0.00005 = 0.42665
Então,

Passo 12

Verificando a diferença final:
|x5 - x4| = |0.42665 - 0.4267| = 0.00005
Agora, , então atingimos a tolerância desejada.

Resposta

A raiz da função encontrada pelo Método de Newton-Raphson com tolerância é aproximadamente .

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