Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância varepsilon <= 1 cdot 10^-4.
f4(x)=sen(x)-x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as raízes da função usando o Método de Newton-Raphson, com uma tolerância de . O Método de Newton-Raphson é uma técnica numérica para encontrar aproximações das raízes de uma função. Vamos precisar da derivada da função e de uma estimativa inicial para começar as iterações.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função f'(x) = cos(x) - 2x . A derivada de é e a derivada de é . Então, a derivada da função é:

Passo 3

Agora, escolhemos um palpite inicial . Vamos tentar , porque sabemos que é positivo e , que está próximo de valores onde a função pode cruzar o eixo x.

Passo 4

Aplicamos a fórmula do Método de Newton-Raphson para encontrar a próxima aproximação:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Vamos calcular f(0,5) = sin(0,5) - (0,5)^2 approx 0,4794 - 0,25 = 0,2294 :
f'(0,5) = cos(0,5) - 2 times 0,5 approx 0,8776 - 1 = -0,1224
x1 = 0,5 - 0,2294-0,1224 approx 0,5 + 1,8757 = 2,3757

Passo 5

Agora, verificamos se a diferença entre |x1 - x0| = |2,3757 - 0,5| = 1,8757 > 0,0001 e é menor que a tolerância :
Como não atingimos a tolerância, repetimos o processo para .

Passo 6

Calculamos f(2,3757) = sin(2,3757) - (2,3757)^2 approx 0,6955 - 5,6483 = -4,9528 e f'(2,3757) = cos(2,3757) - 2 times 2,3757 approx -0,7272 - 4,7514 = -5,4786 :
x2 = 2,3757 - -4,9528-5,4786 approx 2,3757 - 0,9033 = 1,4724

Passo 7

Verificamos novamente a diferença:
|x2 - x1| = |1,4724 - 2,3757| = 0,9033 > 0,0001
Ainda não chegou na tolerância, então vamos para .

Passo 8

Calculamos f(1,4724) = sin(1,4724) - (1,4724)^2 approx 0,9953 - 2,1674 = -1,1721 e f'(1,4724) = cos(1,4724) - 2 times 1,4724 approx 0,0986 - 2,9448 = -2,8462 :
x3 = 1,4724 - -1,1721-2,8462 approx 1,4724 - 0,4117 = 1,0607

Passo 9

Mais uma vez, verificamos a diferença:
|x3 - x2| = |1,0607 - 1,4724| = 0,4117 > 0,0001
Continuamos com .

Passo 10

Calculamos f(1,0607) = sin(1,0607) - (1,0607)^2 approx 0,8734 - 1,1252 = -0,2518 e f'(1,0607) = cos(1,0607) - 2 times 1,0607 approx 0,4882 - 2,1214 = -1,6332 :
x4 = 1,0607 - -0,2518-1,6332 approx 1,0607 - 0,1545 = 0,9062

Passo 11

Verificamos novamente:
|x4 - x3| = |0,9062 - 1,0607| = 0,1545 > 0,0001
Vamos para .

Passo 12

Calculamos f(0,9062) = sin(0,9062) - (0,9062)^2 approx 0,7880 - 0,8212 = -0,0332 e f'(0,9062) = cos(0,9062) - 2 times 0,9062 approx 0,6150 - 1,8124 = -1,1974 :
x5 = 0,9062 - -0,0332-1,1974 approx 0,9062 - 0,0278 = 0,8784

Passo 13

Verificamos a diferença:
|x5 - x4| = |0,8784 - 0,9062| = 0,0278 > 0,0001
Seguimos com .

Passo 14

Calculamos f(0,8784) = sin(0,8784) - (0,8784)^2 approx 0,7705 - 0,7719 = -0,0014 e f'(0,8784) = cos(0,8784) - 2 times 0,8784 approx 0,6394 - 1,7568 = -1,1174 :
x6 = 0,8784 - -0,0014-1,1174 approx 0,8784 - 0,0013 = 0,8771

Passo 15

Chegamos na diferença desejada:
|x6 - x5| = |0,8771 - 0,8784| = 0,0013 > 0,0001
Vamos para .

Passo 16

Calculamos f(0,8771) = sin(0,8771) - (0,8771)^2 approx 0,7673 - 0,7692 = -0,0019 e f'(0,8771) = cos(0,8771) - 2 times 0,8771 approx 0,6398 - 1,7542 = -1,1144 :
x7 = 0,8771 - -0,0019-1,1144 approx 0,8771 - 0,0017 = 0,8754

Passo 17

Finalmente, verificamos:
|x7 - x6| = |0,8754 - 0,8771| = 0,0017 > 0,0001
Continuamos com .

Passo 18

Calculamos f(0,8754) = sin(0,8754) - (0,8754)^2 approx 0,7670 - 0,7667 = 0,0003 e f'(0,8754) = cos(0,8754) - 2 times 0,8754 approx 0,6399 - 1,7508 = -1,1109 :
x8 = 0,8754 - 0,0003-1,1109 approx 0,8754 + 0,0003 = 0,8757

Passo 19

Verificamos a diferença:
|x8 - x7| = |0,8757 - 0,8754| = 0,0003 > 0,0001
Finalmente, com .

Resposta

A raiz aproximada da função x approx 0,8757 usando o Método de Newton-Raphson com tolerância é:

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