Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância .
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as raízes da função usando o Método de Newton-Raphson, com uma tolerância de . O Método de Newton-Raphson é uma técnica numérica para encontrar aproximações das raízes de uma função. Vamos precisar da derivada da função e de uma estimativa inicial para começar as iterações.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . A derivada de é e a derivada de é . Então, a derivada da função é:

Passo 3

Agora, escolhemos um palpite inicial . Vamos tentar , porque sabemos que é positivo e , que está próximo de valores onde a função pode cruzar o eixo x.

Passo 4

Aplicamos a fórmula do Método de Newton-Raphson para encontrar a próxima aproximação:
Vamos calcular :

Passo 5

Agora, verificamos se a diferença entre e é menor que a tolerância :
Como não atingimos a tolerância, repetimos o processo para .

Passo 6

Calculamos e :

Passo 7

Verificamos novamente a diferença:
Ainda não chegou na tolerância, então vamos para .

Passo 8

Calculamos e :

Passo 9

Mais uma vez, verificamos a diferença:
Continuamos com .

Passo 10

Calculamos e :

Passo 11

Verificamos novamente:
Vamos para .

Passo 12

Calculamos e :

Passo 13

Verificamos a diferença:
Seguimos com .

Passo 14

Calculamos e :

Passo 15

Chegamos na diferença desejada:
Vamos para .

Passo 16

Calculamos e :

Passo 17

Finalmente, verificamos:
Continuamos com .

Passo 18

Calculamos e :

Passo 19

Verificamos a diferença:
Finalmente, com .

Resposta

A raiz aproximada da função usando o Método de Newton-Raphson com tolerância é:

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