Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância
.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as raízes da função
usando o Método de Newton-Raphson, com uma tolerância de
. O Método de Newton-Raphson é uma técnica numérica para encontrar aproximações das raízes de uma função. Vamos precisar da derivada da função e de uma estimativa inicial para começar as iterações.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
. A derivada de
é
e a derivada de
é
. Então, a derivada da função é:
Passo 3
Agora, escolhemos um palpite inicial
. Vamos tentar
, porque sabemos que
é positivo e
, que está próximo de valores onde a função pode cruzar o eixo x.
Passo 4
Aplicamos a fórmula do Método de Newton-Raphson para encontrar a próxima aproximação:
Vamos calcular
:
Passo 5
Agora, verificamos se a diferença entre
e
é menor que a tolerância
:
Como não atingimos a tolerância, repetimos o processo para
.
Passo 6
Calculamos
e
:
Passo 7
Verificamos novamente a diferença:
Ainda não chegou na tolerância, então vamos para
.
Passo 8
Calculamos
e
:
Passo 9
Mais uma vez, verificamos a diferença:
Continuamos com
.
Passo 10
Calculamos
e
:
Passo 11
Verificamos novamente:
Vamos para
.
Passo 12
Calculamos
e
:
Passo 13
Verificamos a diferença:
Seguimos com
.
Passo 14
Calculamos
e
:
Passo 15
Chegamos na diferença desejada:
Vamos para
.
Passo 16
Calculamos
e
:
Passo 17
Finalmente, verificamos:
Continuamos com
.
Passo 18
Calculamos
e
:
Passo 19
Verificamos a diferença:
Finalmente, com
.
Resposta
A raiz aproximada da função
usando o Método de Newton-Raphson com tolerância
é:
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Utilizando oito dígitos significativos e as fórmulas de Newton-Cotes do exercício anterior, calcule uma aproximação para
, e o erro relativo cometido, com
c)
c)
Utilizando oito dígitos significativos e as fórmulas de Newton-Cotes do exercício anterior, calcule uma aproximação para
, e o erro relativo cometido, com
b)
b)