Resolva as seguintes equações diofantinas
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diofantina que é
. Equações diofantinas são aquelas que buscamos soluções inteiras, ou seja, números inteiros para
e
. Para resolver isso, vamos usar um método bem legal que envolve manipular a equação para encontrar os valores de
e
que satisfazem a igualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar uma das variáveis. Vou escolher o
para facilitar. Então, vamos reescrever a equação:
Agora, para deixar o
sozinho, dividimos ambos os lados por 3:
Passo 3
Para que
seja um número inteiro, o numerador
precisa ser divisível por 3. Isso significa que
deve ser múltiplo de 3. Vamos expressar isso assim:
Passo 4
Agora, simplificamos a congruência. Sabemos que 47 dividido por 3 dá resto 2, então:
E
dividido por 3 dá resto
, porque
. Então:
Substituindo na congruência original:
Passo 5
Vamos resolver agora a congruência:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Dividindo ambos os lados por 2 (como 2 e 3 são primos entre si, podemos dividir sem problemas):
Isso significa que
pode ser expresso como:
Onde
é qualquer número inteiro.
Passo 6
Agora que temos
, vamos substituir de volta na expressão que encontramos para
:
Calculando dentro do parênteses:
Então:
Passo 7
Agora temos expressões para ambos
e
em termos de
:
Isso significa que para cada valor inteiro de
, teremos uma solução inteira para a equação
.
Resposta
As soluções inteiras da equação
são dadas por:
Onde
é qualquer número inteiro.