Resolva as seguintes equações diofantinas
(b) 3 x+5 y=47.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diofantina que é . Equações diofantinas são aquelas que buscamos soluções inteiras, ou seja, números inteiros para e . Para resolver isso, vamos usar um método bem legal que envolve manipular a equação para encontrar os valores de e que satisfazem a igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar uma das variáveis. Vou escolher o 3x = 47 - 5y para facilitar. Então, vamos reescrever a equação:
x = 47 - 5y3
Agora, para deixar o sozinho, dividimos ambos os lados por 3:

Passo 3

Para que 47 - 5y equiv 0 pmod3 seja um número inteiro, o numerador precisa ser divisível por 3. Isso significa que deve ser múltiplo de 3. Vamos expressar isso assim:

Passo 4

Agora, simplificamos a congruência. Sabemos que 47 dividido por 3 dá resto 2, então:
47 equiv 2 pmod3
E 5y equiv 2y pmod3 dividido por 3 dá resto 2 - 2y equiv 0 pmod3, porque . Então:
Substituindo na congruência original:

Passo 5

Vamos resolver agora a congruência:
2 - 2y equiv 0 pmod3
Subtraindo 2 de ambos os lados:
-2y equiv -2 pmod3
Multiplicando ambos os lados por -1:
2y equiv 2 pmod3
Dividindo ambos os lados por 2 (como 2 e 3 são primos entre si, podemos dividir sem problemas):
y equiv 1 pmod3
Isso significa que y = 3k + 1 pode ser expresso como:
Onde é qualquer número inteiro.

Passo 6

Agora que temos x = 47 - 5y3 = 47 - 5(3k + 1)3, vamos substituir de volta na expressão que encontramos para 47 - 15k - 5 = 42 - 15k:
x = 42 - 15k3 = 14 - 5k
Calculando dentro do parênteses:
Então:

Passo 7

Agora temos expressões para ambos x = 14 - 5k y = 3k + 1 e em termos de :
Isso significa que para cada valor inteiro de , teremos uma solução inteira para a equação .

Resposta

As soluções inteiras da equação x = 14 - 5k y = 3k + 1 são dadas por:
Onde é qualquer número inteiro.

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