Determine o resto das divisões
(b) de por 7 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão de encontrar o resto da divisão de por 7. Esse problema está relacionado com aritmética modular, que é uma parte da matemática que estuda restos de divisões. Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com potências grandes usando propriedades dos restos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a base da potência usando o módulo 7. Ou seja, vamos encontrar o resto da divisão de 41 por 7. Fazendo a conta:
Então, podemos dizer que:
Isso significa que é equivalente a quando consideramos o módulo 7.

Passo 3

Agora, precisamos simplificar módulo 7. Para facilitar, vamos observar o padrão dos restos das potências de 6 divididas por 7:
Vemos que os restos repetem a cada 2 potências: 6, 1, 6, 1, …

Passo 4

Como há um ciclo de 2, podemos determinar em qual parte do ciclo o expoente 65 se encaixa. Vamos dividir 65 por 2:
Isso significa que está na primeira posição do ciclo, ou seja, o resto é 6.

Resposta

O resto da divisão de por 7 é 6.

Exercícios relacionados

Sejam inteiros e um inteiro não nulo. Mostre que
Determine todas as soluções nos inteiros positivos das seguintes equações
(a)
(a) Mostre que vale o lei do cancelamento em respeito da adição para os números naturais,i.e.,
Mostre que a multiplicação de naturais é associativa.