Determine o resto das divisões
(b) de 41^65 por 7 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão de encontrar o resto da divisão de por 7. Esse problema está relacionado com aritmética modular, que é uma parte da matemática que estuda restos de divisões. Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com potências grandes usando propriedades dos restos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a base da potência usando o módulo 7. Ou seja, vamos encontrar o resto da divisão de 41 por 7. Fazendo a conta:
41 div 7 = 5 com resto 6
Então, podemos dizer que:
41 equiv 6 pmod7
Isso significa que é equivalente a quando consideramos o módulo 7.

Passo 3

Agora, precisamos simplificar 6^1 equiv 6 pmod7 módulo 7. Para facilitar, vamos observar o padrão dos restos das potências de 6 divididas por 7:
6^2 = 36 equiv 1 pmod7
6^3 = 6 times 6^2 equiv 6 times 1 = 6 pmod7
6^4 = 6 times 6^3 equiv 6 times 6 = 36 equiv 1 pmod7
Vemos que os restos repetem a cada 2 potências: 6, 1, 6, 1, …

Passo 4

Como há um ciclo de 2, podemos determinar em qual parte do ciclo o expoente 65 se encaixa. Vamos dividir 65 por 2:
65 div 2 = 32 com resto 1
Isso significa que está na primeira posição do ciclo, ou seja, o resto é 6.

Resposta

O resto da divisão de por 7 é 6.

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