Determine todas as soluções nos inteiros positivos das seguintes equações
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diophantina de
. Isso significa que queremos encontrar todos os pares de números inteiros positivos
e
que, quando multiplicados por 54 e 21 respectivamente e somados, dão 906. Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra e teoria dos números, mas vou explicar tudo passo a passo para não complicar.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos pelo maior divisor comum de 54 e 21. Isso ajuda a trabalhar com números menores e mais fáceis.
O máximo divisor comum (MDC) de 54 e 21 é 3, porque 3 é o maior número que divide ambos sem deixar resto.
Então, dividindo a equação inteira por 3:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação simplificada
para encontrar uma relação entre
e
.
Vamos isolar
:
Para que
seja um número inteiro,
precisa ser inteiro. Isso significa que
deve ser divisível por 7.
Passo 4
Vamos encontrar valores de
que tornam
inteiro e, ao mesmo tempo, garantir que
seja positivo.
Primeiro, vamos garantir que
seja positivo:
Como
deve ser inteiro positivo,
pode ser no máximo 16.
Agora, vamos testar valores de
de 1 a 16 para ver quais tornam
inteiro:
Vamos verificar quais valores de
fazem
ser múltiplo de 7:
Calculando
:
E
:
Então, a equação fica:
Agora, encontramos o inverso de 4 mod 7, que é 2, porque
.
Multiplicando ambos os lados por 2:
Isso significa que
pode ser 2, 9, 16, etc. Mas lembrando que
, os valores possíveis são 2, 9 e 16.
Resposta
As soluções inteiras positivas para a equação
são:
-
, -
, -
,
Então, as soluções são: