Determine todas as soluções nos inteiros positivos das seguintes equações
(a) 54 x+21 y=906

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diophantina de . Isso significa que queremos encontrar todos os pares de números inteiros positivos e que, quando multiplicados por 54 e 21 respectivamente e somados, dão 906. Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra e teoria dos números, mas vou explicar tudo passo a passo para não complicar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos pelo maior divisor comum de 54 e 21. Isso ajuda a trabalhar com números menores e mais fáceis.
O máximo divisor comum (MDC) de 54 e 21 é 3, porque 3 é o maior número que divide ambos sem deixar resto.
Então, dividindo a equação inteira por 3:
54x + 21y3 = 9063
18x + 7y = 302

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação simplificada 7y = 302 - 18x para encontrar uma relação entre y = 302 - 18x7 e .
Vamos isolar :
Para que seja um número inteiro, precisa ser inteiro. Isso significa que deve ser divisível por 7.

Passo 4

Vamos encontrar valores de 302 - 18x > 0 que tornam 18x < 302 inteiro e, ao mesmo tempo, garantir que x < 30218 approx 16,78 seja positivo.
Primeiro, vamos garantir que y = 302 - 18x7 seja positivo:
302 - 18x equiv 0 pmod7
302 div 7 = 43 com resto 1
302 equiv 1 pmod7
Como 18 div 7 = 2 com resto 4 deve ser inteiro positivo, 18 equiv 4 pmod7 pode ser no máximo 16.
Agora, vamos testar valores de 18x equiv 4x pmod7 de 1 a 16 para ver quais tornam 1 - 4x equiv 0 pmod7 inteiro:
-4x equiv -1 pmod7
Vamos verificar quais valores de 4x equiv 1 pmod7 fazem x equiv 2 pmod7 ser múltiplo de 7:
Calculando :
E :
Então, a equação fica:
Agora, encontramos o inverso de 4 mod 7, que é 2, porque .
Multiplicando ambos os lados por 2:
Isso significa que pode ser 2, 9, 16, etc. Mas lembrando que , os valores possíveis são 2, 9 e 16.

Resposta

As soluções inteiras positivas para a equação (x, y) = (2, 38), (9, 20), (16, 2) são:
  1. ,
  2. ,
  3. ,
Então, as soluções são:

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