Vamos resolver um exercício de aritmética modular. O enunciado nos pede para mostrar que, se , então , e vice-versa. Para isso, vamos precisar entender o que significa congruência módulo um número e como multiplicar ambos os lados de uma congruência por um inteiro .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa . Isso quer dizer que a diferença entre e é um múltiplo de , ou seja, existe um inteiro tal que:
Essa é a definição básica de congruência módulo .
Passo 3
Agora, vamos multiplicar ambos os lados dessa equação por , que é um inteiro não nulo:
Simplificando, temos:
Isso mostra que a diferença entre e é um múltiplo de , ou seja:
Portanto, se , então .
Passo 4
Para mostrar a implicação contrária, ou seja, que se , então , começamos novamente com a definição de congruência:
Para algum inteiro . Podemos fatorar :
Como é não nulo, podemos dividir ambos os lados por :