Sejam
inteiros e
um inteiro não nulo. Mostre que
Passo 1
Vamos resolver um exercício de aritmética modular. O enunciado nos pede para mostrar que, se
, então
, e vice-versa. Para isso, vamos precisar entender o que significa congruência módulo um número e como multiplicar ambos os lados de uma congruência por um inteiro
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. Isso quer dizer que a diferença entre
e
é um múltiplo de
, ou seja, existe um inteiro
tal que:
Essa é a definição básica de congruência módulo
.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar ambos os lados dessa equação por
, que é um inteiro não nulo:
Simplificando, temos:
Isso mostra que a diferença entre
e
é um múltiplo de
, ou seja:
Portanto, se
, então
.
Passo 4
Para mostrar a implicação contrária, ou seja, que se
, então
, começamos novamente com a definição de congruência:
Para algum inteiro
. Podemos fatorar
:
Como
é não nulo, podemos dividir ambos os lados por
:
Isso mostra que:
Portanto, se
, então
.
Resposta
Assim, mostramos que
se e somente se
.