Sejam a, b, r inteiros e s um inteiro não nulo. Mostre que
a equiv b bmod r sse a s equiv b s bmod r s

Passo 1

Vamos resolver um exercício de aritmética modular. O enunciado nos pede para mostrar que, se , então , e vice-versa. Para isso, vamos precisar entender o que significa congruência módulo um número e como multiplicar ambos os lados de uma congruência por um inteiro .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a - b = k r . Isso quer dizer que a diferença entre e é um múltiplo de , ou seja, existe um inteiro tal que:
Essa é a definição básica de congruência módulo .

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados dessa equação por s(a - b) = s(k r) , que é um inteiro não nulo:
a s - b s = k r s
Simplificando, temos:
a s equiv b s pmodr s
Isso mostra que a diferença entre e é um múltiplo de , ou seja:
Portanto, se , então .

Passo 4

Para mostrar a implicação contrária, ou seja, que se a s - b s = m (r s) , então s(a - b) = m r s , começamos novamente com a definição de congruência:
a - b = m r
Para algum inteiro a equiv b pmodr . Podemos fatorar :
Como é não nulo, podemos dividir ambos os lados por :
Isso mostra que:
Portanto, se , então .

Resposta

Assim, mostramos que se e somente se .

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