Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes justificando a classificação. Se forem convergentes, calcule sua soma.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, também precisamos calcular sua soma. Para isso, vamos utilizar o conhecimento sobre séries geométricas, que é o conteúdo principal necessário aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de série que temos. A série dada é:
Podemos reescrever o termo geral da série para facilitar a identificação:
Isso mostra que nossa série é uma série geométrica, onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante.
Passo 3
Em uma série geométrica da forma , onde:
é o primeiro termo da série,
é a razão da série.
Para que uma série geométrica seja convergente, o valor absoluto da razão deve ser menor que 1 (). Se , a série diverge.
No nosso caso, temos:
(quando ),
.
Vamos verificar o valor da razão:
Como , a série é convergente.
Passo 4
Agora que sabemos que a série converge, podemos calcular sua soma. A soma de uma série geométrica infinita convergente é dada pela fórmula:
Substituindo os valores que já identificamos:
,
,
temos:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão para encontrar o valor de :
Primeiro, simplificamos o denominador:
Agora, substituímos de volta na fórmula da soma:
Para racionalizar o denominador, multiplicamos numerador e denominador por :