Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes justificando a classificação. Se forem convergentes, calcule sua soma.
sumn=1^infty 1(raiz2)^n

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série sumn=1^infty 1(raiz2)^n é convergente ou divergente. Se for convergente, também precisamos calcular sua soma. Para isso, vamos utilizar o conhecimento sobre séries geométricas, que é o conteúdo principal necessário aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de série que temos. A série dada é:
sumn=1^infty 1(raiz2)^n
Podemos reescrever o termo geral da série para facilitar a identificação:
1(raiz2)^n = (1raiz2)^n
Isso mostra que nossa série é uma série geométrica, onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante.

Passo 3

Em uma série geométrica da forma sumn=1^infty ar^n, onde:
  • a é o primeiro termo da série,
  • r é a razão da série.
Para que uma série geométrica seja convergente, o valor absoluto da razão |r| deve ser menor que 1 ( |r| < 1). Se |r| >= 1, a série diverge.
No nosso caso, temos:
  • a = 1raiz2 (quando n=1),
  • r = 1raiz2.
Vamos verificar o valor da razão:
|r| = |1raiz2| approx 0,707 < 1
Como |r| < 1, a série é convergente.

Passo 4

Agora que sabemos que a série converge, podemos calcular sua soma. A soma S de uma série geométrica infinita convergente é dada pela fórmula:
S = a1 - r
Substituindo os valores que já identificamos:
  • a = 1raiz2,
  • r = 1raiz2,
temos:
S = 1raiz21 - 1raiz2

Passo 5

Vamos simplificar a expressão para encontrar o valor de S:
Primeiro, simplificamos o denominador:
1 - 1raiz2 = raiz2raiz2 - 1raiz2 = raiz2 - 1raiz2
Agora, substituímos de volta na fórmula da soma:
S = 1raiz2raiz2 - 1raiz2 = 1raiz2 times raiz2raiz2 - 1 = 1raiz2 - 1
Para racionalizar o denominador, multiplicamos numerador e denominador por (raiz2 + 1):
1raiz2 - 1 times raiz2 + 1raiz2 + 1 = raiz2 + 1(raiz2)^2 - 1^2 = raiz2 + 12 - 1 = raiz2 + 1
Portanto, a soma da série é raiz2 + 1.

Resposta

A série sumn=1^infty 1(raiz2)^n é convergente e sua soma é raiz2 + 1.

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