Seja um grupo e . Mostre que é um subgrupo de .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um grupo e um elemento pertencente a esse grupo. A pergunta nos solicita para mostrar que o conjunto gerado por , denotado por , é um subgrupo de .
Para resolver esse exercício, vamos utilizar conceitos de teoria de grupos, especificamente sobre subgrupos e grupos cíclicos. Precisaremos lembrar dos requisitos para um subconjunto ser um subgrupo e de como gerar um subgrupo a partir de um elemento.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que é o conjunto . Esse conjunto é formado por todas as potências de , ou seja:
Aqui, representa multiplicado por ele mesmo vezes se for positivo, ou o inverso de multiplicado por ele mesmo vezes se for negativo. Se , temos o elemento identidade do grupo .

Passo 3

Agora, para mostrar que é um subgrupo de , podemos usar o critério do subgrupo, que nos diz que um subconjunto de é um subgrupo se:
  1. Contém o elemento identidade de .
  2. É fechado sob a operação do grupo, ou seja, se , então .
  3. Contém os inversos de seus elementos, ou seja, se , então .

Passo 4

Vamos verificar cada um desses requisitos para :
  1. Elemento identidade: Tomando , temos , então .
  2. Fechamento: Se pegarmos dois elementos qualquer de , digamos e , sua operação no grupo é . Como também é um inteiro, , mostrando que o conjunto é fechado.
  3. Inversos: Para qualquer , seu inverso é , que também está em porque é um inteiro.

Passo 5

Como todos os três requisitos do critério do subgrupo são satisfeitos por , podemos concluir que é, de fato, um subgrupo de .

Resposta

Portanto, é um subgrupo de .

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