Seja
um grupo e
. Mostre que
é um subgrupo de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um grupo
e um elemento
pertencente a esse grupo. A pergunta nos solicita para mostrar que o conjunto gerado por
, denotado por
, é um subgrupo de
.
Para resolver esse exercício, vamos utilizar conceitos de teoria de grupos, especificamente sobre subgrupos e grupos cíclicos. Precisaremos lembrar dos requisitos para um subconjunto ser um subgrupo e de como gerar um subgrupo a partir de um elemento.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que é o conjunto
. Esse conjunto é formado por todas as potências de
, ou seja:
Aqui,
representa
multiplicado por ele mesmo
vezes se
for positivo, ou o inverso de
multiplicado por ele mesmo
vezes se
for negativo. Se
, temos o elemento identidade
do grupo
.
Passo 3
Agora, para mostrar que
é um subgrupo de
, podemos usar o critério do subgrupo, que nos diz que um subconjunto
de
é um subgrupo se:
- Contém o elemento identidade
de . - É fechado sob a operação do grupo, ou seja, se
, então . - Contém os inversos de seus elementos, ou seja, se
, então .
Passo 4
Vamos verificar cada um desses requisitos para
:
-
Elemento identidade: Tomando
, temos , então . -
Fechamento: Se pegarmos dois elementos qualquer de
, digamos e , sua operação no grupo é . Como também é um inteiro, , mostrando que o conjunto é fechado. -
Inversos: Para qualquer
, seu inverso é , que também está em porque é um inteiro.
Passo 5
Como todos os três requisitos do critério do subgrupo são satisfeitos por
, podemos concluir que
é, de fato, um subgrupo de
.
Resposta
Portanto,
é um subgrupo de
.
Exercícios relacionados
Dê um exemplo de uma estrutura que não é um grupo.
Seja
sua idade. Calcule a soma da série
.
Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes justificando a classificação. Se forem convergentes, calcule sua soma.
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